Уравнение Ланжвена

[wardan]

Уважаемые Форумчане помогите пожалуйста!
Скажите где можно найти схему или алгоритм численного решения этого стохастического уравнения с белым гаусовским шумом!

По этой теме нашел книгу Кузнецова но она мне не очень помогла поскольку было слишком сложно написано!
Зарание спасибо.

PS
вот мое уравнение:

$$ \frac {dx} {dt} = x + \sigma*\xi(t) $$

[Утундрий]

Принципиально чтобы численно? Вообще-то для систем с линейным откликом характеристики случайного процесса на выходе прекрасно получаются аналитическими методами.

Кстати, тема, скорее, для математического форума.

[wardan]

Спасибо за ответ.
Я знаю что вопрос больше математический но предмет изучения физика в частности адсорбция.
Да мне нужен именно метод численного решения этого уравнения и еще такого же но с мультиплекативным шумом.
Если можете хотя бы скажите откуда начать читать.

PS
Я дружу с английским!

[ewert]

Утундрий в сообщении #206510 писал(а):

Вообще-то для систем с линейным откликом характеристики случайного процесса на выходе прекрасно получаются аналитическими методами.

Но в виде квадратур. А сами интегралы придётся считать всё-таки численно (скорее всего, т.е. с точностью до множества меры ноль).

[Утундрий]

Уточню постановку.
Поскольку решения уравнения

$$\[\frac{{dx}}{{dt}} = x\]$$

неограниченно возрастают, то процесс неустойчив. Значит сходимости к стационарному случайному процессу не будет. То есть, что-бы что-то осмысленное получилось, следует рассматривать эволюцию системы, первоначально находящейся в покое и выведенной из этого состояния "включением" шума, скажем в момент $t=0$.
Решение

$$\[\frac{{dx}}{{dt}} = x+y \]$$

, $x(0)=0$ представим в виде

$$\[x(t) = \int\limits_0^t {e^{t - s} y(s)ds} \]$$

. Подставив вместо игрека белый шум $\eta$ получим для сл. процесса на выходе представление в виде стохастического интеграла

$$\[\xi(t) = \int\limits_0^t {e^{t - s} d \eta} \]$$

.
Пусть наш шум имеет параметры $\[\alpha ,\beta \]$ (то есть $\[\operatorname{M} \Delta \eta = \alpha \cdot (t - s),\operatorname{D} \Delta \eta = \beta \cdot (t - s)\]$ для любого интервала $\[\Delta = (s,t]\]$). Тогда

$$\[a(t) \equiv \operatorname{M} \xi (t) = \alpha \int\limits_0^t {e^{t - s} ds} = \alpha \left( {e^t - 1} \right)\]$$

$$\[R(t,s) \equiv \operatorname{M} [\xi (t) - a(t)][\xi (s) - a(s)] = \beta ^2 \int\limits_0^t {e^{t - u} e^{s - u} du} = \frac{{\beta ^2 }}{2}\left( {e^{s + t} - e^{s - t} } \right)\]$$

Что тут численно считать-то?

[wardan]

Спасибо за столь подробный ответ.

$$\[\frac{{dx}}{{dt}} = ax+b + (cx+d)\xi(t)]$$

это самое общее уравнение которое я получил для адсорбции лигандов на ДНК.
Как численно решить это уравнение когда c=0(адитивный шум) и когда параметры произвольные(мультиплекативный шум)?
В адитивном случае когда а<0 есть некоторое стационарное значение для x.

[wardan]

Если кому то интересно то методы численного решения подробно описаны здесь http://www.cwscholz.net/projects/da/node3.html