Метод ортонормированных рядов для решения УРЧП

[poisonous]

Подскажите, пожалуйста. Для решения уравнения в частных производных я использую этот метод, т.е. подбираю базис из синусов и косинусов, соответствующих граничному условию. Но это в случае гр. усл 1 рода, когда u(x,y)=const на границе области. А если u(x,y) будет равняться например параболе при y=0, и u(x,y)=0 на остальных сторонах прямоугольника. Как поступить в этом случае? "Прилепить" параболу к базису? Или как-то по-другому???

[ewert]

Смотря какое УЧП. Если Пуассона, то неоднородность на одной из стенок безобидна -- надо просто раскладывать в ряд по собственным функциям по той переменной, для которой пара граничных условий однородна. Если же речь о нестационарном уравнении (скажем, теплопроводности), то надо предварительно вычесть из искомого решения любую гладкую функцию, удовлетворяющую только граничным условиям. Конечно, при этом пересчитается правая часть дифуравнения, но на схеме дальнейшего решения это не отразится.

[poisonous]

Уравнение Пуассона у меня. Что-то я не понимаю, что значит: "раскладывать в ряд по той переменной, для которой пара граничных условий однородна"?
Например, я представила решение в виде u(x,y)=\sum\limits_{0}^{\infty}C_{mn} \cos(\frac{(2m-1)\pi y }{2b})\sin(\frac{n \pi x}{a}), учитывая, что при y=0, u(x,y)=1, на остальных сторонах 0. В этом случае коэффициенты C_{mn}=\int_0^a\int_0^b f(x,y) \cos(\frac{(2m-1)\pi y }{2b})\sin(\frac{n \pi x}{a})dydx. А если вот, скажем парабола? Тогда u(x,y)=\sum\limits_{0}^{\infty}C_{mn} x^2 \cos(\frac{(2m-1)\pi y }{2b})\sin(\frac{n \pi x}{a}) и C_{mn}=\int_0^a\int_0^b f(x,y) x^2 \cos(\frac{(2m-1)\pi y }{2b})\sin(\frac{n \pi x}{a})dydx. Так что ли? Таким образом считаю коэяяициенты и получаю решение?

[ewert]

Ищем решения разложением в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля по переменной $x$ (поскольку именно по этой переменной граничные условия однородны): $\sum_{n=1}^{\infty}v_n(y)\cdot\sin{\pi nx\over a}.$ Подставляем в уравнение Пуассона, получаем для коэффициентов $v_n$ дифуравнения вида $v_n''-{\pi^2n^2\over a^2}v_n=\varphi_n(y),$ где $\varphi_n(y)$ -- при каждом фиксированном $y$ суть коэффициенты разложения правой части $f(x,y)$ по тем же синусам. Решаем и находим $v_n(y)=A_ne^{\pi ny\over a}+B_ne^{-{\pi ny\over a}}+\widetilde v_n(y),$ где частные решения $\widetilde v_n(y)$ находим как-нибудь с божьей помощью, т.е. стандартно, а $A_n$ и $B_n$ -- это произвольные постоянные. Чтобы их найти, подставляем всё это в ряд по синусам и накладываем граничные условия при $y=b$ и при $y=0$. Получаем системы уравнений для произвольных констант вида

$$\begin{cases}A_ne^{\pi nb\over a}+B_ne^{-{\pi nb\over a}}+\widetilde v_n(b)=0, \\ A_n+B_n+\widetilde v_n(0)=C_n,\end{cases}$$

где $C_n$ -- коэффициенты разложения параболы из граничного условия в ряд Фурье по синусам.

[poisonous]

Спасибо большое!!! У меня только еще возник вопрос \varphi_n(y) - это коэффициенты разложения правой части по х в ряд Фурье? И еще почему в v_n(y) обе экспоненты в положительной одинаковой степени?

[ewert]

poisonous писал(а):

\varphi_n(y) - это коэффициенты разложения правой части по х в ряд Фурье?

Да.

poisonous писал(а):

И еще почему в v_n(y) обе экспоненты в положительной одинаковой степени?

По рассеянности: забыл вставить минусы после копипастания. Сейчас исправлю.

[poisonous]

Спасибо. Еще возник такой вопрос: почему в экспонентах стоит h, а не n? Очепятка?)

[ewert]

чушь какая-то. Неизвестно как появившаяся. Конечно, $n$.

[poisonous]

И еще, можно ли обойтись без частных решений?

[ewert]

poisonous в сообщении #213269 писал(а):

И еще, можно ли обойтись без частных решений?

Нет, в данном режиме -- никак. Можно ещё попробовать альтернативный вариант, о котором я говорил перед этим (вычитая из решения функцию, удовлетворяющую только граничным условиям, с соотв. пересчётом правой части уравнения Пуассона, а дальше -- по Вашему исходному рецепту). Только неизвестно ещё, что выйдет вычислительно проще.

Да и уравнение Пуассона -- это ведь чаще всего просто уравнение Лапласа, без правой части.

[poisonous]

Спасибо... А можете рассказать про стандартный прием нахождения частного решения? У меня в правой части стоит функция $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{6300^2+(x-a)^2+(y-b)^2}}{$

[poisonous]

А еще совсем непонятно, ведь \varphi_n(y)=\int\limits_0^a \frac{1}{\sqrt{6300^2+(x-a)^2+(y-b)^2}} \sin(\frac{n\*\pi x}{a})dx А мэппл его посчитать не может((( Притом, что a, b, n я конечно заменяю на цифры

[ewert]

ну, значит, не судьба. Нехай считает численно. Не всё ведь в этой жизни считается точно, а говоря точнее -- почти ничего не считается.

[poisonous]

Как же он будет считаться численно? Там же переменная y есть.
А как все-таки ищется частное решение?

[poisonous]

А еще, раз не получается посчитать этот интеграл, может есть какой-нить другой способ для получения аналитического решения все теми же рядами? Почему нельзя брать сразу двойной базис, и по х, и по у?