Помогите решить интреграл

[vlad239]

Вы не в ту сторону работаете! Перенесите все, кроме интеграла с кубом в другую часть. Получится, что вычисление интеграла с кубом сводится к вычислению интеграла с квадратом.

Влад.

[CnapTaK]

Как я понимаю, вы предлагаете сделать так:
$3\int { \frac {dy} {{(x^2 + y^2)^2}}-{ \frac {y} {{(x^2 + y^2)^2}}= 4 \int{ \frac {x^2{dy}} {{(x^2 + y^2)^3}} }$

и посчитать левую часть. Но возникает проблема в том, что в левой части первоначальный интеграл, который я не могу посчитать...

[ewert]

Вообще-то предлагалось сделать так:

$$\int{y^2dy\over(x^2+y^2)^3}=-{1\over2}\int y\,d{1\over(x^2+y^2)^2}=-{y\over2(x^2+y^2)^2}+{1\over2}\int {1\over(x^2+y^2)^2}dy$$

Ну и с коэффициентами там полная путаница (в частности, они должны содержать иксы).

[CnapTaK]

Только вы, по-моему допустили ошибку, там должно быть

$$-\frac{1}{4}$$

:

$$\int{y^2dy\over(x^2+y^2)^3}=-{1\over4}\int y\,d{1\over(x^2+y^2)^2}=-{y\over4(x^2+y^2)^2}+{1\over4}\int {1\over(x^2+y^2)^2}dy$$

А в нашем решении

$$\int{y^2dy\over(x^2+y^2)^3}$$

имеет коэффициент

$$4$$

, то есть мы придем к равенству

$$ 0 = 0 $$

И я немного не понял, что вы имели под "полной путаницей (в частности, они должны содержать иксы) с коэффициентами" ? На каком этапе она возникает ?

[ewert]

CnapTaK писал(а):

Только вы, по-моему допустили ошибку, там должно быть

$$-\frac{1}{4}$$

Да, это правда, ещё одну двойку я зевнул.

CnapTaK писал(а):

, то есть мы придем к равенству

$$ 0 = 0 $$

Ни к каким нулям мы не придём. Проделайте этот трюк ещё раз: домножьте и разделите на $x^2$, прибавьте и вычтите в числителе $y^2$, разделите почленно и проинтегрируйте дробь с чистым $y^2$ в числителе по частям.

[CnapTaK]

Я не понимаю, что вы имеете ввиду. После интегрирования по частям:

$$\int { \frac {dy} {{(x^2 + y^2)^2}}=$$

$$4 \int{ \frac {y^2{dy}} {{(x^2 + y^2)^3}}+{ \frac {y} {{(x^2 + y^2)^2}}$$

Что вы предлагаете домножить и разделить на $x^2$ ?

Можно сделать, как и предлогалось:

$$\int{y^2dy\over(x^2+y^2)^3}=-{1\over4}\int y\,d{1\over(x^2+y^2)^2}=-{y\over4(x^2+y^2)^2}+{1\over4}\int {1\over(x^2+y^2)^2}dy$$

как раз здесь и получается

$$0=0$$

[ewert]

$${1\over (x^2+y^2)^2}={1\over x^2}\cdot{(x^2+y^2)-y^2\over (x^2+y^2)^2}$$

и т.д.

[CnapTaK]

Все, получилось. Большое спасибо