Помогите решить интреграл

[CnapTaK]

$\int { \frac {dy} {{(x^2 + y^2)^2}}$

и $\int { \frac {dy} {{(x^2 + y^2)^3}}$

какую замену здесь использовать?

[ewert]

Да вообще-то никакую. Надо просто один-два раза проинтегрировать по частям, сведя к обычному арктангенсу. (См. тему "интегрирование рац. дробей, притом простейших.)

[CnapTaK]

После интегрирования по частям:
$4 \int{ \frac {y^2{dy}} {{(x^2 + y^2)^3}}$ + ${ \frac {y} {{(x^2 + y^2)^2}}$

и как дальше?

[Brukvalub]

CnapTaK писал(а):

После интегрирования по частям:
$4 { \frac {y^2{dy}} {{(x^2 + y^2)^3}}$ + ${ \frac {y} {{(x^2 + y^2)^2}}$

и как дальше?

А куда интеграл-то запропал?

[CnapTaK]

исправил

[Brukvalub]

Прибавьте и вычтите в числителе подынтегрального выражения $x^2 $, после чего получите рекуррентное соотношение на такие интегралы.

[CnapTaK]

Brukvalub писал(а):

Прибавьте и вычтите в числителе подынтегрального выражения $x^2 $, после чего получите рекуррентное соотношение на такие интегралы.

эм.. когда прибавим и вычтем $x^2 $ , то получится первоначальный интеграл..
Что есть рекуррентное соотношение?

[Brukvalub]

CnapTaK писал(а):

Brukvalub писал(а):

Прибавьте и вычтите в числителе подынтегрального выражения $x^2 $, после чего получите рекуррентное соотношение на такие интегралы.

эм.. когда прибавим и вычтем $x^2 $ , то получится первоначальный интеграл..

Не только он.

[ewert]

CnapTaK писал(а):

Brukvalub писал(а):

Прибавьте и вычтите в числителе подынтегрального выражения $x^2 $, после чего получите рекуррентное соотношение на такие интегралы.

эм.. когда прибавим и вычтем $x^2 $ , то получится первоначальный интеграл..
Что есть рекуррентное соотношение?

Там пафос вот в чём. Интеграл от ${1\over(1+x^2)^n}$ -- не есть хорош. Но вот от ${x^2\over(1+x^2)^n}$ -- уже гораздо лучше, поскольку при наличии икса в числителе появляется возможность занести кой-чего под знак дифференциала, с последующим интегрированием по частям и понижением степени. А икс в в квадрате как раз и вносится его прибавлением и вычитанием -- опять же с понижением степени не особо интересного слагаемого.

[CnapTaK]

Brukvalub писал(а):

CnapTaK писал(а):

Brukvalub писал(а):

Прибавьте и вычтите в числителе подынтегрального выражения $x^2 $, после чего получите рекуррентное соотношение на такие интегралы.

эм.. когда прибавим и вычтем $x^2 $ , то получится первоначальный интеграл..

Не только он.

Понятно, что не только он. Но если он появляется снова, то как мы посчитаем первоначальный интеграл? =)

[CnapTaK]

ewert писал(а):

CnapTaK писал(а):

Brukvalub писал(а):

Прибавьте и вычтите в числителе подынтегрального выражения $x^2 $, после чего получите рекуррентное соотношение на такие интегралы.

эм.. когда прибавим и вычтем $x^2 $ , то получится первоначальный интеграл..
Что есть рекуррентное соотношение?

Там пафос вот в чём. Интеграл от ${1\over(1+x^2)^n}$ -- не есть хорош. Но вот от ${x^2\over(1+x^2)^n}$ -- уже гораздо лучше, поскольку при наличии икса в числителе появляется возможность занести кой-чего под знак дифференциала, с последующим интегрированием по частям и понижением степени. А икс в в квадрате как раз и вносится его прибавлением и вычитанием -- опять же с понижением степени не особо интересного слагаемого.

ну если мы прибавляем и вычитаем $x^2$ то получается 2 интеграла, один из которых - первоначальный...

[vlad239]

CnapTaK писал(а):

Понятно, что не только он. Но если он появляется снова, то как мы посчитаем первоначальный интеграл? =)

А если решая задачу по арифметике и обозначив число книжек за $x$ Вы узнаете, что оно равно $20-x$, сможете найти это самое количество?

Влад.

[ewert]

CnapTaK в сообщении #212969 писал(а):

ну если мы прибавляем и вычитаем то получается 2 интеграла, один из которых - первоначальный...

Отнюдь. В одном из интегралов после эдакой операции степень понижается моментально,путём просто сокращения, в другом же (с иксом в квадрате в числителе) -- после интегрирования по частям.

[CnapTaK]

vlad239 писал(а):

CnapTaK писал(а):

Понятно, что не только он. Но если он появляется снова, то как мы посчитаем первоначальный интеграл? =)

А если решая задачу по арифметике и обозначив число книжек за $x$ Вы узнаете, что оно равно $20-x$, сможете найти это самое количество?

Влад.

К сожалению, получается не $20-x=x$, а $t=4t - 4 \int{ \frac {x^2{dy}} {{(x^2 + y^2)^3}} + { \frac {y} {{(x^2 + y^2)^2}}$

[CnapTaK]

ewert писал(а):

CnapTaK в сообщении #212969 писал(а):

ну если мы прибавляем и вычитаем то получается 2 интеграла, один из которых - первоначальный...

Отнюдь. В одном из интегралов после эдакой операции степень понижается моментально,путём просто сокращения, в другом же (с иксом в квадрате в числителе) -- после интегрирования по частям.

После прибавления и вычитания $x^2$, получаем:
$\int { \frac {dy} {{(x^2 + y^2)^2}}=4\int { \frac {dy} {{(x^2 + y^2)^2}} - 4 \int{ \frac {x^2{dy}} {{(x^2 + y^2)^3}} + { \frac {y} {{(x^2 + y^2)^2}}$

Отсюда видно, что последущее интегрирование по частям $4 \int{ \frac {x^2{dy}} {{(x^2 + y^2)^3}}$ даст в знаменателе 4-ю степень..