Простые задачи на теорию вероятностей.

[Ворон]

Здравствуйте. Я тут порешал задачи по теме "Теория вероятности". Проверте пожалуйста

1 задача.
Из колоды карт вынимают две карты. Событие $A$ - хотя бы одна карта чёрной масти; $B$ - обе карты чёрной масти. Что означают события $ \bar A, \bar B, AB, A + B, A \bar B$ ?
Решение.
$\bar A$ - нет чёрноой масти.
$\bar B$ - менее двух чёрных мастей.
$AB$ - обе карты чёрной масти.
$A + B=A$ - не менее двух чёрных.
$A \bar B$ - одна карта чёрной масти.


2 задача.
2. Числа 1,2,....,n расставлены случайным образом. Найти вероятность того, что
числа 1 и 2 расположены рядом.
Решение.
Общее число перестановок равно $n = n!, а общее число благоприятствующих исходов равно $k = 2! \cdot (n-2)! \cdot (n-1)$.
Тогда вероятность равна:

$$P = k/n = \frac{2! \cdot (n-2)! \cdot (n-1)}{n!}$$

3 задача.
В урне 2 белых, 3 чёрных, 5 красных шаров. Вынимают по очереди 3 шара.
Определить вероятность того, что последнии два шара будут красными.
Решение.
$A$ - 2 красных шара оказались последними.
Найдём общее число исходом. Вытащить 3 шара - означает составить группу из 3 шаров, если всего их 10, причём порядок извлечения имеет значение.
Число размещений равно:

$$A_{10}^3=10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$

Найдём число исходов благоприятствующих событию $A$.
Исход благоприятствует $A$, если $KKK$ или $\bar KKK$, тогда:

$$k = C_5^1 \cdot C_4^1 \cdot C_3^1 + C_5^1 \cdot C_5^1 \cdot C_4^1 = 160$$

Тогда вероятность равна $P(A) = 160/720 = 0,222$

Или, как мне подсказали, можно сделать проще: $P(A) = P(KKK) + P(\bar KKK) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{10 \cdot 9 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 5 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8} = 2/9 = 0,222$


4 задача.
Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причём в каждой партии одно бракованое.
Одно изделие из 1 партии переложили во вторую.
Определить вероятность извлечение бракованного изделия из второй партии.
Решение.
$A$ - бракованая деталь из 1 партии.
$B$ - бракованая деталь из 2 партии.
$P(A) = 1/12$
$P(A|B) = 2/11$
Тогда $P(AB)=P(A)P(A|B)=1/12 \cdot 2/11 = 1/66 = 0,01515$

5 задача.
5. Вероятность отказа каждого прибора при испытании не зависит от отказов остальных и равна 0,2.
Испытанно 9 приборов. Найти вероятность того, что отказало не менее 6 приборов.
Решение.
$A$ - отказало 6 и более приборов.
Применим формулу Бернулли.
$p = 0,2$
$q = 0,8 $
$n = 9$
$k = 6,7,8,9$
Тогда $P(A) = P_{6,9} + P_{7,9} + P_{8,9} + P_{9,9} = C_9^6p^6q^3 + C_9^7p^7q^2 + C_9^8p^8q + q^9 = ....$
Правильно мыслю?


Зарание спасибо, очень сомневаюсь в правильности решения 3 задачи

[ewert]

Ворон писал(а):

Тогда $P(A) = P_{6,9} + P_{7,9} + P_{8,9} + P_{9,9} = C_9^6p^6q^3 + C_9^7p^7q^2 + C_9^8p^8q + q^9 = ....$
Правильно мыслю?

Вот только это и правильно; всё остальное не годится.

В первой задаче верно только

Цитата:

$AB$ - обе карты чёрной масти.

Ну и ещё

Цитата:

$A + B$ - одна карта чёрная или обе чёрные.

формально можно считать верным, хотя подразумевался, конечно, ответ "$=A$". Остальное просто неверно.

Во второй -- решение совершенно непонятно, зато совершенно понятен и не вызывает никаких сомнений ответ. Он почему-то больше единицы. Любопытно, не так ли?

Третья решается, в принципе, и правильно бы, только неверно, что порядок несущественен -- ведь гарантированно красными должны оказаться именно последние шары. И ещё: третьему тоже не запрещено быть красным, а Вы этого не учитываете.

В четвёртой -- только намёк на правильное решение. Нужна формула полной вероятности. Но для этого надо выдвинуть гипотезы и чётко их сформулировать -- во избежание путаницы. А то у Вас:

Цитата:

$A$ - бракованая деталь из 1 партии.
$B$ - бракованая деталь из 2 партии.

-- ну и как это понимать? Опыт-то в два этапа проводится. Что к какому этапу отнесено?

[Ворон]

Спасибо за советы

1, 2 и 3 задачу перерешал(обновил 1 пост). Над 4 пока думаю....

[Ворон]

4 задача.
Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причём в каждой партии одно бракованое.
Одно изделие из 1 партии переложили во вторую.
Определить вероятность извлечение бракованного изделия из второй партии.
Решение.
$A$ - достали бракованую.
Запишем гипотезы:
$H_1$ - из 1 партии достали хорошую, а из второй достали брак.
$H_2$ - из 1 партии достали брак и из второй достали брак.
Вероятности для этих гипотез:

$$P(H_1)= \frac{11}{12} \cdot \frac{1}{11} = \frac{11}{132}$$

$$P(H_1)= \frac{1}{12} \cdot \frac{2}{11} = \frac{2}{132}$$

$$P(A) = P(H_1)+P(H_2) = 13/132 = 0,098$$

Проверте пожалуйста

[ewert]

Ворон писал(а):

Запишем гипотезы:
$H_1$ - из 1 партии достали хорошую, а из второй достали брак.
$H_2$ - из 1 партии достали брак и из второй достали брак.

Никуда не годится. Ответ-то правильный, но надо ведь не только ответ писать, но и понимать, что за этим стоит. А Вы явно не понимаете.

Что такое "гипотезы" и каким требованиям они должны удовлетворять?... (имеется в виду "полная группа гипотез", или просто "полная группа событий")

Как выглядит формула полной вероятности?...

[Ворон]

Гипотеза представляет из себя некоторое событие. Должно выполняться равенство:

$$P(H_1) + P(H_2) + ... + P(H_n) = 1$$

А формула полной вероятности:

$$ P(A)=P(H_i)P(A|H_i)$$

(тут должен быть знак суммы, с обновлением движка пропала сылка на Tex)

Надо судя по всему указать все возможные исходы:

$$P(H_1)$$

- из 1 партии достали хорошую, а из второй достали брак.

$$P(H_2)$$

- из 1 партии достали хорошую и из второй достали хорошую.

$$P(H_3)$$

- из 1 партии достали брак, а из второй достали хорошую.

$$P(H_4)$$

- из 1 партии достали брак и из второй достали брак.

Тогда выполняется условие

$$P(H_1) + P(H_2) + P(H_3) + P(H_4) = 1$$

[ewert]

Ворон писал(а):

Гипотеза представляет из себя некоторое событие. Должно выполняться равенство:

$$P(H_1) + P(H_2) + ... + P(H_n) = 1$$

Не только. Должно выполняться ещё одно требование, которое Вы забыли упомянуть (оно, кстати, выполняется, а вот выписанное -- нет).

Ворон писал(а):

А формула полной вероятности:

$$ P(A)=P(H_i)P(A|H_i)$$

(тут должен быть знак суммы, с обновлением движка пропала сылка на Tex)

Сумма кодируется как "\sum_i" (в данном случае).

Ворон писал(а):

Надо судя по всему указать все возможные исходы:

$$P(H_1)$$

- из 1 партии достали хорошую, а из второй достали брак.

$$P(H_2)$$

- из 1 партии достали хорошую и из второй достали хорошую.

$$P(H_3)$$

- из 1 партии достали брак, а из второй достали хорошую.

$$P(H_4)$$

- из 1 партии достали брак и из второй достали брак.

А вот это уже и есть криминал. Т.е. фактическое издевательство при формальной как бы правильности.

Гипотезы должны формулироваться по отношению к исключительно первому этапу опыта (в данном случае -- к перекидыванию первого шарика). Совершенно безотносительно к тому, что может случиться на втором; это уже должно обслуживаться соответствующими условными вероятностями. Иначе формула полной вероятности теряет какую бы то ни было практическую ценность.

Очень типичная ошибка -- неумение грамотно разбить решение на разумные этапы.

[Ворон]

Получается, что у нас будет всего две гипотезы:
$H_1$ - из 1 партии взяли бракованую деталь.
$H_2$ - из 1 партии взяли хорошую деталь.

Тогда вероятности этих гипотез:
$P(H_1) = 1/12$
$P(H_2) = 11/12$

А как находить условные вероятности $P(A|H_1)$ и $P(A|H_2)$ ?

[ewert]

Ворон писал(а):

А как находить условные вероятности $P(A|H_1)$ и $P(A|H_2)$ ?

Да вот так ровно молча и находить. Какова вероятность вытащить на втором шаге белый шар в предположении, что на предыдущем шаге был переложен чёрный?... И -- в альтернативном предположении?...

Собственно, ровно это Вы и считали. Только бессознательно.

[Ворон]

Спасибо, буду разбираться

[Ворон]

Вновь добрый день.
Подскажите пожалуйста как решить эту задачу.

Случайная величина $X$- измерение диаметра вала подчинена нормальному закону с параметрами (0, 20). Найти вероятность того, что в двух независимых измерениях ошибка по абсолютной величине не менее 4 мм.

Что нужно почитать, какие формулы использовать?

Зарание спасибо.

[GAA]

Пожалуйста, откройте учебник, проверьте название предмета «Теория вероятностей» и, если в заголовке опечатка, отредактируйте.

1. Выразите вероятность события $ p = P (|X| > 4)$ через функцию стандартного нормального распределения, либо интеграл ошибок (в зависимости от рекомендованных в учебном курсе таблиц или пакета).
Почитать можно §6.3 «Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок...» книги
Венцтель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969 (djvu).

2. Зная вероятность наступления события в одном испытании, найдите вероятность наступления этого события в двух независимых испытаниях.

[Ворон]

Спасибо, буду ознакомляться

[Ворон]

Хм.. чтото я не так видимо делаю...

$P(4<X<-4) = F(\frac{-4-0,2}{0,2}) - F(\frac{4-0,2}{0,2})=F(-21) - F(19)$

Но в таблице нет значений -21 и 19

[ewert]

Ворон в сообщении #213622 писал(а):

Но в таблице нет значений -21 и 19

Во-первых, они есть: соответственно, практически ноль и практически единица.

Во-вторых, Вы неправильно прочитали своё же условие: там вовсе не ноль и две десятых, а ноль и (точка с запятой) два.

В-третьих: почему бы Вам не переписать условие задачи хоть сколько-то вразумительно?...