Помогите взять интеграл - часть 2

[Melevir]

Есть интеграл. Его надо посчитать. Моя фантазия бессильна (как и пара известных матпакетов). Помогите пожадуйста. Сам интеграл:
$\varphi=\int\frac{dr}{r^2\sqrt{a-\frac{1}{r^2}(1-\frac{b}{r})}}$

[Полосин]

$$ \varphi=(t=1/r)=-\int\frac{dt}{\sqrt{a-t^2+bt^3}}. $$

Пусть p - вещественный корень многочлена (можно найти по формуле Кардано), тогда $a-t^2+bt^3=(t-p)(b(t-p)^2+c(t-p)+d)$.
Делаем замену $s=\sqrt{t-p}$ (считаем $t>p$, другой случай - аналогично):

$$ \varphi=-2\int\frac{ds}{\sqrt{bs^4+cs^2+d}}. $$

Последний интеграл $(d\ne0)$ выражается через эллиптический интеграл первого рода $(A>B>0)$:

$$ \int_x^{+\infty}\frac{ds}{\sqrt{s^4+2B^2s^2+A^4}}=\frac{1}{2A}F(\psi,k)=\frac{1}{2A}\int_0^\psi\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2t}}, \psi=\arccos\frac{x^2-A^2}{x^2+A^2}, k=\frac{\sqrt{A^2-B^2}}{A\sqrt2}. $$

Другие случаи аналогичны.

[Melevir]

Полосин, спасибо огромное.. Вот только знаний не хватает чтобы разобраться, как
\varphi=-2\int\frac{ds}{\sqrt{bs^4+cs^2+d}}.
выражается через эллиптический интеграл, что такое эллиптический интеграл и каким образом он был посчитан. Ваша помощь уже неоценима, но если не сложно - рассусольте пожалуйста этот момент подробнее.

Добавлено спустя 18 минут 47 секунд:

Вопрос снят, еще раз огромное спасибо.

[prumaster]

Melevir писал(а):

Полосин, спасибо огромное.. Вот только знаний не хватает чтобы разобраться, как
\varphi=-2\int\frac{ds}{\sqrt{bs^4+cs^2+d}}.
выражается через эллиптический интеграл, что такое эллиптический интеграл и каким образом он был посчитан. Ваша помощь уже неоценима, но если не сложно - рассусольте пожалуйста этот момент подробнее.

Добавлено спустя 18 минут 47 секунд:

Вопрос снят, еще раз огромное спасибо.

Расскажи плз, как ты разобрался?)

[Melevir]

Ну, вроде надо взять

$$\varphi=-2\int\frac{ds}{\sqrt{bs^4+cs^2+d}},$$

умножить на

$$\sqrt{\frac{b}{b}}$$

, привести к виду

$$ \int_x^{+\infty}\frac{ds}{\sqrt{s^4+2B^2s^2+A^4}}$$

,
а дальше ход решения отлично расписан.. Константы эти посчитать..
Пока не совсем понятно как считать

$$\int_0^\psi\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2t}}$$

,
но уж эллиптический интеграл первого рода.. в книжках должно все быть)

[Brukvalub]

Melevir в сообщении #203835 писал(а):

Пока не совсем понятно как считать

$$\int_0^\psi\frac{dt}{\sqrt{1-k^2\sin^2t}}$$

,
но уж эллиптический интеграл первого рода.. в книжках должно все быть)

Никак не посчитать, кроме как численно.

[Melevir]

То есть эта функция F(\psi,k) - это типа гамма-функции? Для нее таблицы есть или вроде того?

[Brukvalub]

Melevir в сообщении #203921 писал(а):

Для нее таблицы есть или вроде того?

Вроде того.

[Melevir]

Еще раз спасибо:)

[Melevir]

Доброе всем время суток!
История у меня такая: есть курсовая. И в этой курсовой требовалось помимо всего прочего решить один интеграл несколькими способами. Со всеми способами кроме одного я разобрался, осталось непосредственное интегрирование. Вот тут мне с эти помогли (еще раз огромное спасибо тов. Полосину). Приношу я все это преподавателю, его это не устраивает, говорит, надо делать его способом. И выдает мне иероглифы, которые я приведу чуть ниже. Никаких комментариев по их поводу я не получил, но и разобраться не могу. Если сможете мне помочь расшифровать этот бред - буду очень благодарен.
Сам текст:
\int\limits_{d}^{\infty} \dfrac{d\rho}{\rho^2\sqrt{\frac{1}{d^2}-\frac{1}{\rho^2}(1-\frac{a}{\rho^2})}} \approx \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{a}{2}\int\limits_{d}^{\infty}\dfrac{d\rho}{\rho^5\sqrt{(\frac{1}{d^2}-\frac{1}{r^2})^3}} = \dfrac{a}{4}d^{-\frac{4}{3}}(\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{3}\dfrac{1}{d^2}) \approx \dfrac{3a}{8}d^{-\frac{4}{3}}.

[Taras]

а при чем там $dx$?

[Melevir]

Опечатка. Спасибо, исправил:)