Проверьте задачу (дифф. ур. задача Коши)

[rar]

Найти решение задачи Коши:

$$y'=2y+xy^2,$$

$$y(0)=1$$

Приводим к виду уравнения Бернулли:

$$y'-2y=xy^2$$

$$y=z^{1/(1-2)}=z^{-1}$$

$$z'+2z=-x$$

(1)

Решаем получившееся уравнение методом вариации произвольной постоянной:

$$z'+2z=0$$

$$\frac{dz}{dx}=-2z$$

$$\int\frac{dz}{z}=-2\int dx$$

$$\ln{|z|}=-2x+C$$

$$z=Ce^{-2x}\Rightarrow z=C(x)e^{-2x$$

(2)

$$z'=C'e^{-2x}-2Ce^{-2x}$$

Подставляем в уравнение (1):

$$C'e^{-2x}-2Ce^{-2x}+2Ce^{-2x}=-x$$

$$\frac{dC(x)}{dx}=-xe^{2x}$$

$$\int dC(x)=-\int xe^{2x}dx$$

$$C(x)=-\int xe^{2x}dx$$

$$I=-\int xe^{2x}dx=-\frac{1}{2}\int x(e^{2x})'dx=-\frac{1}{2}\left( xe^{2x}-\int e^{2x}dx \right)=-\frac{1}{2}\left[xe^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x}d(e^{2x}) \right]=$$

$$=-\frac{1}{2}\left(xe^{2x}-\frac{1}{2}e^{2x}\right)=\frac{1}{4}e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+C_0$$

$$C(x)=\frac{1}{4}e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+C_0$$

Подставляем

$$C(x)$$

в уравнение (2) и заменяем

$$z=1/y$$

:

$$\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{4}e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+C_0\right)e^{-2x}$$

$$y=\frac{4}{1-2x+4C_0e^{-2x}}$$

Подставляем условие задачи

$$y(0)=1$$

:

$$1=\frac{4}{1-2\cdot 0+4C_0e^{-2\cdot 0}}$$

$$C_0=3/4$$

Окончательно находим:

$$y=\frac{4}{1-2x+3e^{-2x}}$$

Ответ:

$$y=\frac{4}{1-2x+3e^{-2x}}$$

.

[terminator-II]

rar писал(а):

Найти решение задачи Коши:

$$y'=2y+xy^2,$$

$$y(0)=1$$

Сначала нужно представить уравнение в виде

$$y'=P(x)y+Q(x)$$

. Вот не пойму как его в таком виде представить. Подскажите.

Степанов Курс обыкновенных диф. уравнений. См. уравнение Бернулли

[rar]

Разобрался и решил. Теперь проверьте пожалуйста.

[terminator-II]

ok

[rar]

Да? Я там исправил. Там проблема со знаком минус была, в самом конце. Так ведь? Посмотрите еще разок.

[terminator-II]

rar писал(а):

Да? Я там исправил. Там проблема со знаком минус была, в самом конце. Так ведь? Посмотрите еще разок.

теперь нач условие не выполнено

[rar]

Не понял. Я там исправил.
Если там ошибка, то подскажите где она.

Добавлено спустя 1 час 50 минут 7 секунд:

В самом конце исправил. Минус в степени был потерян.

[ewert]

rar писал(а):

Ответ:

$$y=\frac{4}{1-2x+3e^{-2x}}$$

.

Верно, но слишком сложно. Для неоднородного уравнения $z'+2z=-x$ ищем частное решение в виде $\widetilde z(x)=Ax+B$, подстановкой в уравнение мгновенно находим $A=-{1\over2}$ и $B={1\over4}$, после чего сразу пишем общее решение: $z(x)=C\,e^{-2x}-{1\over2}x+{1\over4}.$