Конечномерные ассоциативные алгебры

[Икром]

В работе Mazzola G. Тhe algebraic and geometric classification of assoc. alg. of dim. five (1979)
проводится список 5 мерных ассоц. алгебр с единицей. .
Всего в списке Mazzola 59 ассоц. 5 мерные алгебры с единицей. Из их я не смог
написать таблицу умножения базисных элементов следующих алгебр:

39:$k\times \lambda k^2$\\ 55:$k\times k[x,y,z]/(x,y,z)^2$\\ 59:$k[x,y,z,w]/(x,y,z,w)^2$Заранее спасиба всем![/math]

[bot]

Всего 59? Это для меня удивительно. Неужто, если я возьму 128 четырёхэлементных полугрупп, присоединю к каждой внешнюю единицу и рассмотрю полученные 5 элементов как базисные элементы, то окажется, что среди полученных отсюда ассоциативных алгебр очень много изоморфных? Надолго не задумывался, но не вижу откуда этим изоморфизмам или антиизоморфизмам взяться? И это ведь ещё не все 5-элементные полугруппы с единицей. Ещё должны быть алгебры, в которых произведение базисных элементов является не базисными элементами, а их линейной комбинацией.

Судя по слову "геометрическая" в названии, видимо речь идёт не об абстрактной классификации, то есть не с точностью до изо(анти)морфизма, а с точностью до более объемлющей эквивалентности, в силу чего и получается меньше классов эквивалентности, чем можно было ожидать по моим грубым оценкам.

PS. Мне не ясен смысл обозначений.
k - это кольцо, подкольцо в $\mathbb C$? Если да, то какое?
В 39 прямое произведение чего?
В 55 и 59 имеется в виду фактор-кольцо многочленов по идеалу?
Например, $(x,y)^2$ - это идеал, порождённый элементами вида $(\alpha x+ \beta y)^2, \ \alpha, \ \beta \in k$?

[Икром]

mr Bot:
В работе Маззола расматривается k-это алгебраическое замкнутое поле char(k) не равно 2.
В алгебре 39 перед вторым k стоит большое ламбда. (мой друг говорить это алгебра Грасмана). Если вас интересует, я могу по е.mail отправит вам статью Маззола, и могли бы дать мне полезные советы.(Конечно если вас это не затрудняет!) Потому что, далнейший прогресс моей работы связанна с этой проблемой. Вы по моему помните, я хочу классифицировать диассоциативных алгебр в малых размерностях 2,3,4.... (Я уже классифицировал диассоц. алгебры dimA=2 и dimA=3).
Спасибо!

[bot]

Ну, статья-то вот она, да только для меня она слишком специфична - я ведь успел забыть всё, чему меня когда-то учили в унивекрситете. Поинтересуюсь при случае у наших кольцевиков.

Добавлено спустя 11 минут 4 секунды:


Впрочем, кое-что стало ясно даже мне.

Икром в сообщении #211953 писал(а):

мой друг говорить это алгебра Грасмана

В алгебре 39 табличка произведений базисных элементов очевидна из определения алгебры Грассмана. Если, к примеру, взять базис $e=(1, 1), \ a=(0, 1),\ b=(0,e_1), \ \ c=(0, e_2),\ d=(0, e_1e_2)$, то получим:

$\begin{matrix}e&a&b&c&d\\ a&a&b&c&d\\ b&b&0&d&0\\ c&c&-d&0&0\\ d&d&0&0&0 \end{matrix}$

[Икром]

mr Bot
Большое спасибо за ответь и внимание!
1. Вы взяли базис, какой из них единица алгебры e либо а, (по моему е это единица кольца)?
2. в таблице умножение одно из след. произведение с знаком минус не так ли?
ad=-d либо da=-d.
Еще раз спасибо и удачи!

[bot]

Икром писал(а):

mr Bot
1. Вы взяли базис, какой из них единица алгебры e либо а, (по моему е это единица кольца)?
2. в таблице умножение одно из след. произведение с знаком минус не так ли?
ad=-d либо da=-d.

1) Я специально взял $e=(1,1)$ в качестве одного из базисных элементов - удобнее ведь, если базис будет содержать единицу алгебры, можно было вместо него взять $(1,0)$, но тогда и табличка выглядела бы похуже. Единицей алгебры, разумеется является $e=(1,1)$, где 1 - это единица поля $k$. Элемент $a$ очевидно будет единицей в подалгебре $0\times \Lambda k^2$, но никак не во всей $k\times \Lambda k^2$. Отсюда и
2) Конечно же не так.

[Икром]

mr Bot.
Да я все понел, спасибо вам большое.