Задача по планиметрии: Касательные к окружности

[skalgar]

Условие:

А и В - точки пересечения двух окружностей; С и D - точки касания их общей касательной (проведена ближе к точке В). Через точки В, С и D проведена окружность. Докажите, что ее радиус есть среднее геометрическое между радиусами данных окружностей.

Я пробовал применить векторный способ и подобие треугольников, но тщетно.
Заранее благодарен за помощь в решении.

P.S. Здесь возможно воспользоваться теоремой косинусов для решения?

[Brukvalub]

Воспользуйтесь расширенной т. синусов и измерением угла между касательной и хордой.

[skalgar]

Спасибо за совет.

[skalgar]

Вот, что у меня получилось (пока):

$$ \frac{BD}{sin DCB}= \frac{CB}{sin BDC}= 2OB OB^2 = \frac{BD^2}{4sin^2 DCB}, и OB^2=\frac{CB^2}{4sin^2 BDC} $$

Т.к. угол с вершиной на окружности между ее хордой и касательной измеряется половиной дуги
этой окружности, заключенной внутри данного угла,

BDС = 0.5BD = 0.5BPD,

(половина градусной меры дуги), аналогично

BCD = 0.5CB=0.5CQB
Чертеж

[Алексей К.]

Brukvalub в сообщении #210895 писал(а):

Воспользуйтесь расширенной т. синусов

Один Мой Знакомый спрашивает, что такое расширенная теорема синусов, а мне срочно надо убегать... Не могли бы Вы прокомментировать?

[skalgar]

Отношение стороны тр-ка к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.

[Алексей К.]

О. М. З. реально преисполнен благодарности.

[Brukvalub]

\[ \angle BQC = 2x\;;\;\angle BPD = 2y \Rightarrow BC = QC\sin x\;;\;BD = QC\sin y \]

Далее примените именно ту расширенную т. синусов, которую Вы процитировали для Алексей К., к треугольнику OCD для углов С и D.

[skalgar]

Спасибо.