Тригонометрические уравнения

[ИС]

Как доказать утверждения:

Если уравнение (1) или приводимое к нему при замене х на пи - х не изменится, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно sin(x)

Если уравнение (1)или приводимое к нему при замене х на -х не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно cos(х)

Если уравнение (1)или приводимое к нему при замене х на пи+х не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно tg(x)


$R(sin(x), cos(x)) = 0$ (1)
где R - функция относительно sin(x), cos(x) [/math]

[gris]

Как можно доказывать утверждения, которые имеют вид не теорем, а рекомендаций, причём не всегда эффективных.

Но в них есть смысл, так как при каждом из трёх преобразований фигурирующие в рекомендациях функции не меняются.

Примеры ко второму случаю. Значит, если функция чётная, то имеет смысл всё приводить к косинусам? Даже такое:

$$\sin^2x+\sin^4x=0$$

$$\sin^6x+\sin^3x=2$$

Другое дело, если переформулировать так: доказать, что рациональная функция $R(\sin x, \cos x)$ чётная, то её можно привести к рациональной относительно только косинуса.

[ИС]

А из каких соображений взялись такие рекомендации? интересно как были выработаны такие рекомендации.

[gris]

Повторяю: Но в них есть смысл, так как при каждом из трёх преобразований фигурирующие в рекомендациях функции не меняются.

То есть $\sin(\pi-x)=\sin (x)$
$\cos(-x)=\cos (x)$
$\tg(\pi+x)=\tg (x)$

Но вероятно есть другие обоснования

[ИС]

гы. Ну это я тож заметил )
Хочу узнать какие-нибудь еще обоснования

[gris]

А каков практический смысл этих рекомендаций? Что представляет собой функция $R$?

К чему нужно приводить такое уравнение:

$$\sin x + \cos x -1=0$$

[ИС]

как можно в уровнение
$\frac{2}{\pi}sin(x) + cos(19\pi) = cos(x)$
прийти к ответу
$x = (1 + (-1)^n) arcsin(\frac{\pi}{\sqrt{4+\pi^2}}) + \pi n$

а то у меня, мягко говоря, немного другой ответ получается

// 4.05.09 близкие темы соединены. / GAA

[Brukvalub]

А какой у Вас ответ и как Вы решали?

[venco]

ИС, у вас в формуле ответа пропущен символ t, в результате корень потерялся:
$x = (1 + (-1)^n) arcsin(\frac{\pi}{\sqrt{4+\pi^2}}) + \pi n$
А так ответ правильный.

[ИС]

$\frac{2}{\pi}sin(x) - cos(x) = 1$
делю обе части на $\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}$

$\frac{2}{\pi \sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}} sin(x) - \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}} cos(x) =\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}} $

ввожу вспомогательный угол y,
$cos(y) = \frac{2}{\pi \sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}}$
$sin(y) = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}}$

$cos(x)sin(y) - sin(x)cos(y) =- \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}} $
$sin(y-x) = -\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}} $
$y-x = -(-1)^n arcsin(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}}) + \pi n$
$-x = -y - (-1)^n arcsin(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}}) + \pi n$
$x = y + (-1)^n arcsin(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}}) - \pi n$
$x = arcsin(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}}) + (-1)^n arcsin(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}}) - \pi n$

эээ.. вопщем... пока переписывал нашел ошибку =)
извеняюсь за беспокойство
я уж думал что я что-то принципиальное не понимаю, оказалось что просто ошибся...
$x = (1 + (-1)^n) arcsin(\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{\pi^2}}}) + \pi n$

Добавлено спустя 2 минуты 58 секунд:

venco
не понял чтоза t... у меня там n вместо t =)

[venco]

В первом сообщении в формуле ответа:

arcsin(\frac{\pi}{\sqr{4+\pi^2}})

Обратите внимание, что квадратный корень записывается как \sqrt, а не \sqr, как у вас.

[Утундрий]

ИС писал(а):

$\frac{2}{\pi}sin(x) - cos(x) = -1$

Напомните-ка, чему равен $\[\cos (19\pi )\]$?

[ИС]

venco ы. не заметил

Утундрий
$cos(19\pi) = cos(2\pi \cdot 9 + 1\pi) = cos(\pi) = -1$... я где-то ошибся???

[Утундрий]

ИС писал(а):

$\frac{2}{\pi}sin(x) + cos(19\pi) = cos(x)$

Далее косинусы вы тасуете вправо-влево. Ну и что должно быть справа? Адын или мынус адын?

[ИС]

увидел ) исправил