Вычислить сумму ряда, используя уже известные суммы

[_v_l]

Добрый день.

Хочу предупредить что эту задачу я хотел предложить на олимпиаде по математике в тех. вузе, так что не судите о ней слишком строго :-).

Разложим функцию $x^{2}$ в ряд Фурье на трезке $[-\pi;\pi]$. Получим
$x^{2}\sim \frac{\pi^{2}}{3}+4\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos{n x}.$

Положим в этом разложении $x=\pi$:
$S_{1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\dots+\frac{1}{n^{2}}+\dots=\frac{\pi^{2}}{6}.$

Зная сумму этого ряда можно найти суммы следующих рядов:
\begin{align*} S_{2}&=1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}+\dots,\\ S_{3}&=1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+\dots+\frac{1}{(2n-1)^{2}}+\dots,\\ S_{4}&=\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\dots+\frac{1}{(2n)^{2}}+\dots. \end{align*}

Имеем $S_{4}=\frac{1}{4}S_{1}=\frac{\pi^{2}}{24}$, $S_{1}-S_{2}=2S_{4}$, $S_{2}=\frac{1}{2}S_{1}=\frac{\pi^{2}}{12}$, $2S_{3}=S_{1}+S_{2}=\frac{3}{2}S_{1}$, $S_{3}=\frac{3}{4}S_{1}=\frac{\pi^{2}}{8}$.

Можно ли используя эти ряды и значения их сумм найти за конечное число шагов сумму ряда
$S_{5}=1-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^2}+\dots.$

[maxal]

_v_l в сообщении #210362 писал(а):

$S_{1}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\dots+\frac{1}{n^{2}}+\dots=\frac{\pi^{2}}{3}.$

Вообще-то $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}$.

[RIP]

http://mathworld.wolfram.com/CatalansConstant.html

[ИСН]

"Не родственники и даже не однофамильцы."

[_v_l]

2RIP:
Ответ я знаю :-)).

Задача не в том, чтобы вычислить, а том чтобы доказать что невозможно вычислить сумму, используя представленные ряды.

2ИСН:
Откуда такой вывод :-))?

P.S. Исправил ошибку, на которую указал модератор, спасибо. Память дрянь, как вычисляется коэффициент $a_{0}$ помню, как $a_{n}$ и $b_{n}$ --- тоже, но множитель перед интегралом не могу запомнить :-S. Здесь ошибся на двойку, обидно.

[ewert]

_v_l в сообщении #210545 писал(а):

Задача не в том, чтобы вычислить, а том чтобы доказать что невозможно вычислить сумму, используя представленные ряды

Такая постановка вопроса на олимпиадность не тянет. Не потому даже, что сложно или там легко, а -- не олимпиадное это дело.

[RIP]

Я так вообще не понимаю постановку вопроса.

[_v_l]

RIP писал(а):

Я так вообще не понимаю постановку вопроса.

Разложим $x^{2}$ в ряд Фурье, с его помощью посчитаем сумму ряда $S_{1}$.Зная лишь только этот ряд можно посчитать сумму других рядов: состоящий только из чётных чисел ($S_{4}$), с чередующимся знаком ($S_{2}$), состоящий только из нечётных чисел ($S_{3}$). Простые модификации исходного ряда, а мы может подсчитать суммы новых рядов. Можно ли используя эти ряды подсчитать сумму ряда, состоящего из нечётных чисел с чередованием знака ($S_{5}$).

Замечу, что приведённые ряды можно считать "простыми" модификациями исходного ряда $S_{1}$.

[RIP]

Что значит "посчитать, используя эти ряды"? Это не математическая постановка вопроса и я её не понимаю. Догадываюсь, что имеется в виду нечто вроде "можно ли получить этот ряд, сделав некие «простые преобразования» над исходным рядом?", но это слишком расплывчатая формулировка, недопустимая для задачи, в которой ответ --- "нельзя". Прежде чем доказывать, что что-то сделать нельзя, надо это что-то чётко определить.
А посчитать сумму этого ряда можно, причём даже без знания $S_1,\ldots,S_4$: его сумма равна постоянной Каталана. Вполне себе конкретная уважаемая математическая постоянная.

[_v_l]

ewert писал(а):

_v_l писал(а):

Задача не в том, чтобы вычислить, а том чтобы доказать что невозможно вычислить сумму, используя представленные ряды

Такая постановка вопроса на олимпиадность не тянет. Не потому даже, что сложно или там легко, а -- не олимпиадное это дело.

RIP писал(а):

Что значит "посчитать, используя эти ряды"? Это не математическая постановка вопроса и я её не понимаю.

Понятно, задача сыровата. Нужно продумать условия и формулировки. Идея была в том, что с помощью арифметических преобразований можно вычислить значения сумм рядов $S_{1}$---$S_{4}$, причём не важно какой ряд берётся в качестве исходного. В этом смысле эти ряды --- "родственники" :-).
Однако ряд $S_{5}$ невозможно выразить через данные. Почему так. Вопрос действительно не олимпиадный, но олимпиады бывают разные, не сравнивайте математику в тех. вузе (они бывают разные), с математикой на мех.мате или физ.факе. Разный уровень.

В общем задача "сыровата".

2RIP: не буду спорить про константы, их множество, то что в этом случае сумма ряда --- постоянная Кталана я узнал лишь вычислив сумму ряда в Mathematica (бр-р), сразу поняв почему нельзя выразить $S_{5}$ через $S_{1}$: $S_{5}$ интеграл от неэлементарной функции
\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\arctg{x}}{x}\mathrm{d} x=C.

Раз функция $x^{2}$ элементарная, то и ряд её Фурье обладает свойством "элементарности": т.е. с его помощью нельзя выразить сумму ряда от неэлементарной функции (имеются в виду числовые ряды, как показано в примере).

Вот только относительно справедливости этого утверждения я сомневаюсь. Какие здесь ряды: числовые или функциональные, получен ли числовой ряд из функционального при некотором $x$ и пр.

Спасибо за ваши комментарии.