ЕГЭ, задача с параметрами

[DoGGy]

Помогите, пожалуйста, в решении задачи (очередная из ЕГЭ), подобные решал, но как-то все было немного проще.
Вот собственно и она :
Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

\[ \frac{{x - (2^a + 2^{3 - a} )}}{{x - (\cos a - 1)}} \le 0 \]

выполнено при всех

\[x\]

, принадлежащих промежутку (6;9)

Добавлено спустя 3 минуты 5 секунд:

сильно пугает, что параметр забрался в аргумент к косинусу, поэтому не понимаю, как можно оценить границу изменения числителя и знаменателя дроби по а, как я делал это раньше.. ((

[ShMaxG]

Здесь конструкция

\[ \frac{{x - A}} {{x + B}} \leqslant 0 \]

, причем

\[ A > 0 \]

, и

\[ B \geqslant 0 \]

. Это неравенство выполнено при всех

\[ x \in \left( { - B;A} \right] \]

. Т.е. надо найти те значения $a$, для которых

\[ A \geqslant ... \]

. Дальше допишите и решайте неравенство.

[Утундрий]

В числителе замените

$$\[ 2^a + 2^{3 - a} = 2^{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \operatorname{ch} [\ln 2 \cdot ({3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} - a)] \]$$

. Знаменатель положителен при любых $a$.

[ShMaxG]

Утундрий
В школе уже проходят гиперболические функции?

[Утундрий]

А я знаю?) Тут у DoGGy спросить надо.

[DoGGy]

нет, гиперболических не было....

[Утундрий]

Ну, тогда найдите минимум

$$f(a)=2^a + 2^{3 - a}$$

и докажите ее четность относительно точки минимума.

[ShMaxG]

Ну вот. Можно не делать такую замену. И свести все к квадратному неравенству

[Алексей К.]

DoGGy в сообщении #210279 писал(а):

сильно пугает, что параметр забрался в аргумент к косинусу, поэтому не понимаю, как можно оценить границу изменения числителя и знаменателя дроби по а, как я делал это раньше..

Позволю себе совет: когда задача из ЕГЭ, пугаться не надо, а надо пробовать и долбить. И всё окажется вовсе не страшно.
Эта методика иногда проходит и на задачах из жизни, но, к сожалению, гораздо реже. Но пробовать всё равно стоит.

[La|Verd]

DoGGy писал(а):

Помогите, пожалуйста, в решении задачи (очередная из ЕГЭ), подобные решал, но как-то все было немного проще.
Вот собственно и она :
Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

\[ \frac{{x - (2^a + 2^{3 - a} )}}{{x - (\cos a - 1)}} \le 0 \]

выполнено при всех

\[x\]

, принадлежащих промежутку (6;9)

Края интервала точно не включаются?
Может ли кто-то досчитать до ответа? А то я почему-то не могу найти ошибку в своем решении...

[ShMaxG]

У меня получилось

\[ a \leqslant 0 \vee a \geqslant 3 \]

.

[La|Verd]

А то, что интервал $(6;9)$ не включает края, не влияет на решение неравенства $x \leqslant 2^a + 2^{3-a}$? Мы все так же спокойно можем перейти к $2^{2a} - 9\cdot2^a + 8 \geqslant 0$?

[ShMaxG]

Нуу, наверно не должно вызывать удивление существование решений не из интервала

\[ \left( {6;9} \right) \]

. Ведь все $x$ из интервала являются решениями.