Найти обЪём???

[Лукомор]

Помогите...
Математику "сдал" 30 лет назад...
Осьмушка шара:
$x^2+y^2+z^2=R^2$
$x>0$, $y>0$, $z>0$...
Найти площадь поверхности и объём, отсекаемые плоскостью
$z=x+y$

[gris]

Плоскость проходит через начало координат и разрезает восьмушку на два шаровых сектора в определённой пропорции телесных углов. Пропорции объёмов равны пропорции площадей частей сферы (радиус то постоянный)

А площадь поверхности нужна всего шарового сектора или только сферической части?

[Лукомор]

gris в сообщении #209692 писал(а):

А площадь поверхности нужна всего шарового сектора или только сферической части?

Площадь поверхности нужна только сферической части...

Я понял так, что нужно найти угол между плоскостями
$z=x+y$ и $z=0$

[TOTAL]

gris писал(а):

А площадь поверхности нужна всего шарового сектора или только сферической части?

Нужна площадь сферического треугольника. Она есть в гугле.
Объемы относятся так же, как площади сферических частей.

[gris]

Вам проще найти площадь верхней части восьмушки, которая представляет собой треугольник с вершинами $(0;0;R), (0;\sqrt 2R;\sqrt 2R), (\sqrt 2R;0;\sqrt 2R)$. Верхний угол равен $\pi/2$, надо найти нижний, потом через эксцесс площадь.
Но может быть есть чисто геометрическое решение?

[ASA]

Или найти объем

$$ V=\iiint\limits_{\begin{array}{c}0\leqslant z\leqslant x+y,\\ x\geqslant 0, \,y\geqslant 0,\\x^2+y^2+z^2\leqslant R^2\end{array}}dxdydz. $$

[Лукомор]

ASA в сообщении #209725 писал(а):

Или найти объем

Именно так я и пытался решить...
Через тройной интеграл, и обратился за помощью, потому что не смог расставить пределы интегрирования по dy...

Добавлено спустя 17 минут 18 секунд:

gris писал(а):

Вам проще найти площадь верхней части восьмушки, которая представляет собой треугольник с вершинами $(0;0;R), (0;\sqrt 2R;\sqrt 2R), (\sqrt 2R;0;\sqrt 2R)$. Верхний угол равен $\pi/2$, надо найти нижний, потом через эксцесс площадь.
Но может быть есть чисто геометрическое решение?

Координаты "нижних" вершин, видимо, в два раза меньше:
$(0;0;R), (0;\sqrt 2R/2;\sqrt 2R/2), (\sqrt 2R/2;0;\sqrt 2R/2)$?
Верхний угол равен $\pi/2$
Две верхних стороны:
$\pi R/4$

[TOTAL]

Лукомор писал(а):

Координаты "нижних" вершин, видимо, в два раза меньше:
$(0;0;R), (0;\sqrt 2R/2;\sqrt 2R/2), (\sqrt 2R/2;0;\sqrt 2R/2)$?

А теперь воспользуйтесь формулой для телесного угла,
под которым виден из начала координат треугольник с координатами вершин $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3$

$$\omega=2\arctg{\frac{|\vec{r}_1\cdot (\vec{r}_2\times \vec{r}_3)|} {|\vec{r}_1||\vec{r}_2||\vec{r}_3| + (\vec{r}_1\cdot \vec{r}_2)|\vec{r}_3| + (\vec{r}_2\cdot \vec{r}_3)|\vec{r}_1| + (\vec{r}_3\cdot \vec{r}_1)|\vec{r}_2|} } $$

[vvvv]

Может Вам поможет эта картинка?

[ewert]

вряд ли поможет. А вот упомянутая формула для площади сферическрго прямоугольника (через его углы) -- поможет точно.

[vvvv]

Если картинку повернуть, то легко найти каноническое уравнение эллипса и тем самым пределы интегрирования
для тройного итеграла.


Добавлено спустя 21 минуту 22 секунды: