единственность и кванторы

[arseniiv]

Как "поматематичнее" записать "$a \in X$, для которого $P(a)$, единственно"?
Когда встречаюсь с единственностью, не знаю, как её лучше формализовать. Вот что я надумал; есть ли какая-нибудь запись получше (думаю, из этих последняя самая нормальная):

$$(\forall x \in (X\backslash \{ a\} ))\;\neg P(x)$$

$$(\not \exists x \in X)\;x \ne a \wedge P(x)$$

$$(\forall x \in X)\;P(x) \to x = a$$

И второй вопрос - искал, не нашёл. $\neg \exists x A$ то же, что и $\not \exists xA$?

А ещё интуитивно кажется, что $\neg \forall xP(x) = \exists x(\neg P(x));\quad \neg \exists xP(x) = \forall x(\neg P(x))$. Так ли это?

[gris]

Вроде бы принято такое обозначение $\exists!$, которое обозначает "существует единственное":

$$\forall x>0 \,\,\exists! \,\,y: x=e^y$$

[arseniiv]

gris в сообщении #208761 писал(а):

Вроде бы принято такое обозначение $\exists!$, которое обозначает "существует единственное"

А какое у него определение? Не просто же оно так... А за обозначение спасибо.
А второе и третье не знаете?

[gris]

третье верно. Посмотрите http://en.wikipedia.org/wiki/Quantification. Там много написано про обозначения кванторов.

Например, варианты

$$ \exists{x}\, P $$

:

$$ \exists{x}\, P \qquad (\exists{x}) P \qquad (\exists x \ . \ P) \qquad \exists x \ \cdot \ P \qquad (\exists x : P) $$ $$ \exists{x}(P) \qquad \exists_{x}\, P \qquad \exists{x}{,}\, P \qquad \exists{x}{\in}\mathbb{N}\, P \qquad \exists\, x{:}\mathbb{N}\, P$$

[Xaositect]

$\exists! x P(x) \equiv \exists x (P(x) \& \forall y (P(y) \Rightarrow y=x))$

[ASA]

Если строго следовать канонам, то знаков $\not\exists$, $\exists !$, $\forall x\in X$ в математической логике нет, а появились они из-за необходимости сокращения записи различных формулировок. А высказывание ''существует единственное $a\in X$ такое, что $P(a)$'' записывается в матлогике так:

$$\exists a ((a\in X)\wedge P(a))\wedge \forall a_1\forall a_2(P(a_1)\wedge P(a_2)\wedge (a_1\in X)\wedge (a_2\in X)\to(a_1=a_2))$$

Добавлено спустя 3 минуты 39 секунд:

Ну вот. Xaositect опередил.
Запись

gris писал(а):

$ \exists{x}\, P $

лишена смысла. Надо $ \exists{x}\, P(x) .$

[arseniiv]

Ну, это наверно для сокращения так написано. Спасибо за ответы!