Вычисление интеграла с заданной точностью

[Эйлер]

Здравствуйте!
Дано: вычислить интеграл $\int _0^{0,1} sin \frac {x^2}{2}dx$ с точностью $0,001$.
Данный ряд я разложил в ряд Маклорена $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \cdot \frac {x^{4n+2}}{(2n+1)!\cdot 2^{2n+1}} $ и проинтегрировал первые три его члена. В ходе решения у меня получилось, что первый член ряда при $n=0$ меньше заданной точности. Скажите, пожалуйста, может такое быть, чтобы точность была больше самого значения интеграла ? Если да, то в ответе писать саму точность?

[AD]

Эйлер в сообщении #208555 писал(а):

Скажите, пожалуйста, может такое быть, чтобы точность была больше самого значения интеграла ?

Формально никто не запрещает.

Даже ясно, что
$0<\int _0^{0,1} \sin \frac {x^2}{2}\,dx<\int_0^{0,1}\frac{x^2}2\,dx=\frac{0,001}6$

[Эйлер]

Уважаемый AD, у меня так и получается первый член, остальные члены бессмысленно вычислять. Что писать-то в ответ?

[AD]

Эйлер в сообщении #208555 писал(а):

Если да, то в ответе писать саму точность?

В ответе писать любое число, про которое удалось доказать, что оно уклоняется от значения интеграла не дальше чем просят.

Добавлено спустя 33 секунды:

AD в сообщении #208556 писал(а):

у меня так и получается первый член

Это не первый член, а точное неравенство. Можно даже снизу оценить: $\frac2\pi x\le\sin x\le x$ при $0<x<\pi/2$.

upd: Хотя да, у Вас же знакопостоянный ряд там, значит, правильно Вы меня обозвали.

Добавлено спустя 34 секунды:

А если серьезно, то скорее всего в условии имеется в виду относительная погрешность.

[Эйлер]

Интеграл получается $0,00016$, а точность $0,001$, значит нужна их разница, т.е. $0,00084\pm 0,00016 $

[AD]

Эйлер в сообщении #208559 писал(а):

значит нужна их разница

Если честно, в эта фраза - в лучших традициях "пособий по "женской логике"".

[Эйлер]

AD интеграл-то правильно вычислен?

[ewert]

Скорее всего, просто ошибка в условии (возможно, и рассеянность составителя). Во-первых, даже относительная погрешность в одну тысячную с огромным запасом исчерпывается первым же слагаемым. Во вторых, оценивание относительной погрешности -- задача с формальной точки зрения не вполне тривиальная. Даже для знакочередующегося ряда приходится произносить пару дополнительных заклинаний, практически совершенно ненужных, однако формально обязательных.

[Эйлер]

Скажите, пожалуйста, а у такого примера какой будет исход $\int _0^{0,1} \frac {sin x^2}{x^2}dx$ с точностью $0,001$

Добавлено спустя 10 минут 35 секунд:

Я это к тому, что в методичке, решается этот пример, но там меняются пределы интегрирования от 0,1 до 0,5 , но почему не могу понять.

[ewert]

Пять тысячных. Снова достаточно первого члена, причём со всех точек зрения.

-----------------------------------------------------------
Что значит "меняются пределы"? Каа в точности формулируется условие?

[Эйлер]

Причем ответ написан $0,499$

[ewert]

Правильный ответ -- $(0.1-3.33\cdot10^{-7})$ (я там сослепу степень в числителе не разглядел). Чушь какая-то, а не примеры.

[Эйлер]

Вот задание как выглядело.

Вычислить интеграл $\int_0^{0,5}\frac {sinx^2}{x^2}dx$ с точностью $0,001$.

$\int_0^{0,5}\frac {sinx^2}{x^2}dx=\int_0^{0,5}(1-\frac {x^4}{3!}-\frac {x^9}{5!}+\frac {x^{12}}{7!}+...)=(0,5-\frac {1}{3!5\cdot 2^5}+\frac {1}{5!\cdot 9\cdot 2^9}+...)$

$\frac {1}{5!\cdot 9\cdot 2^9}<0,001$, поэтому $0,5-\frac {1}{3!5\cdot 2^5}=0,499$

[ewert]

Ну, если 0.5, то это уже более-менее разумно. Действительно, обычно учебные условия подбираются так, чтобы требовалось удерживать два члена, максимум три.

[Эйлер]

Объясните, пожалуйста, почему пределы интегрирования сменили с $0,1$ на $0,5$. Блин, в учебнике этого не описывают, ничего не понимаю.

Добавлено спустя 30 минут 46 секунд:

AD, ewert, и на этом спасибо