Мой первый интеграл ...

[Dgeyms]

Извините меня сразу за может быть очевидные и наивные вопросы, которые я задам, но это и правда первый пример по интегрированию. Хочу сказать что читал лекции и учил формулы, скачал Mathcad и MathXpert, но се равно сиё дело остаётся для меня тёмным лесом. Поэтому взываю к вашей помощи...
1). Скажите вот эти два примера идентичны:

\[ \int {\frac{{dx}} {{7 + 4x^2 }}} \]

и

\[ \int {\frac{1} {{7 + 4x^2 }}dx} \]

2). Проверти пожалуйста:

\[ \int {\frac{{dx}} {{7 + 4x^2 }} = \int {\frac{{dx}} {{(\sqrt[2]{7} + 4x^2 )}} = \frac{1} {{\sqrt 7 }} \cdot arctg\frac{{4x}} {{\sqrt 7 }} + C} } \]

Спасибо !!!

[AD]

Dgeyms в сообщении #208401 писал(а):

Скажите вот эти два примера идентичны:

Ага. Это обозначения такие типа.

Dgeyms в сообщении #208401 писал(а):

Проверти пожалуйста:

А посчитайте производную - и само проверится.

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

Ну как бы ясно, что первый переход неверен: $7\neq\sqrt[2]7$. Но, думаю, очепятка.

[Someone]

Dgeyms в сообщении #208401 писал(а):

\[ \int {\frac{{dx}} {{7 + 4x^2 }} = \int {\frac{{dx}} {{(\sqrt[2]{7} + 4x^2 )}} = \frac{1} {{\sqrt 7 }} \cdot arctg\frac{{4x}} {{\sqrt 7 }} + C} } \]

Неверно. Если Вы сводите к формуле

$$\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac 1a\arctg\frac xa+C\text{,}$$

то нужно было бы преобразовать так:

$$\int\frac{dx}{7+4x^2}=\int\frac{dx}{(\sqrt{7})^2+(2x)^2}=\ldots\text{.}$$

И, прежде чем применять формулу, обратить внимание на то, что под дифференциалом стоит $x$, а в знаменателе в квадрат возводится $2x$.

[Dgeyms]

Цитата:

И, прежде чем применять формулу, обратить внимание на то, что под дифференциалом стоит $x$

Понял $x$ тоже надо дефференцировать.

Цитата:

$$\int\frac{dx}{7+4x^2}=\int\frac{dx}{(\sqrt{7})^2+(2x)^2}=\ldots\text{.}$$

\[ ....\int {\frac{{d(\sqrt 7 + 2x)}} {{(\sqrt {7)^2 } + (2x)^2 }} = .....} \]

...дальше сокращаем в числителе и знаменатели?...

[gris]

Лучше вынести за скобки 4

$$\int \frac{dx}{7 + 4x^2} = \frac14\int \frac{dx}{\frac74 + x^2 } =\frac14\int \frac{dx}{(\frac{\sqrt7}2)^2 + x^2 }= ...$$

Интересно, а кто был первым у этого интеграла...

[Someone]

Dgeyms в сообщении #208440 писал(а):

\[ ....\int {\frac{{d(\sqrt 7 + 2x)}} {{(\sqrt {7)^2 } + (2x)^2 }} = .....} \]

...дальше сокращаем в числителе и знаменатели?...

Не вижу, что там можно было бы сократить. А правильное преобразование такое:

$$\ldots=\frac 12\int\frac{d(2x)}{\left(\sqrt{7}\right)^2+(2x)^2}=\ldots$$

(подумайте, откуда там $\frac 12$). После чего уже можно писать ответ.

[Dgeyms]

Цитата:

(подумайте, откуда там $\frac 12$).

Если не ошибаюсь вот из этой формулы:

\[ dx = \frac{1} {a}d(ax) \]