Помогите разобраться с числовыми рядами

[nechaeff]

Добрый день, в процессе освоения числовых рядов появился ряд проблем:
Я доказал что ряды сходятся, но найти сумму не получаеться:

1) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac {1}{n(n+1)}$
пробывал перейти к
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac {(n-2)!}{n!}$
но идеи по нахождению суммы ряда все равно не появилось((

2)
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} q^n \sin{n\alpha}$, $\left| {q} \right|<1$

подскажите как вычислить суммы этих рядов?

и еще вопрос, какие есть еще основные суммы ряда, которые стоить знать?
в моем арсенале
$\sum\limits_{n=1}^{n} {n^2}= \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac {1}{n!}= e$
и сумма бесконечной геометрической прогрессии равная $\frac {1-q^n}{1-q}$

[ASA]

nechaeff писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\frac {1}{n(n+1)}$

Подсказка: ${\frac {1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

nechaeff писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{n} {n^2}= \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$

Неаккуратная запись.

nechaeff писал(а):

сумма бесконечной геометрической прогрессии равная $\frac {1-q^n}{1-q}$

А это не верно. Какая разница между геометрической прогрессией и бесконечно убывающей геометрической прогрессией?

[LetsGOX]

ASA Смысл тот же, а формулы разные
Во-акрвых, в бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел(Обычно это ноль), а во-вторых есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (Сумма неубывающей равна бесконечности)

[ASA]

nechaeff писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} q^n \sin{n\alpha}$, $\left| {q} \right|<1$

Что-то ничего другого не вижу, как воспользоваться этим представлением $\sin n\alpha=\frac{1}{2i}\left(e^{i n\alpha}-e^{-i n\alpha}\right)$. Если, конечно, это позволено.

[RIP]

ASA в сообщении #206758 писал(а):

Если, конечно, это позволено.

А если не позволено, то можно умножить и разделить на $1-2q\cos\alpha+q^2$.

[ewert]

RIP писал(а):

ASA в сообщении #206758 писал(а):

Если, конечно, это позволено.

А если не позволено, то можно умножить и разделить на $1-2q\cos\alpha+q^2$.

Только для этого, наверное, нужно знать ответ. Но вот что можно: умножить всю сумму $S$ на косинус альфы. Тогда после преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов более-менее автоматически получится уравнение

$$2S\cos\alpha={1\over q}(S-q\sin\alpha)+qS.$$

[nechaeff]

Всем ОГРОМНОЕ спасибо!
to ASA
спасибо, точно!
нда, вот так правильней будет
$\sum\limits_{n=1}^{m} {n^2}= \frac {m(m+1)(2m+1)}{6}$

сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равная $\frac {1}{1-q}$, где $\left | q \right | <1$

ASA писал(а):

nechaeff писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} q^n \sin{n\alpha}$, $\left| {q} \right|<1$

Что-то ничего другого не вижу, как воспользоваться этим представлением $\sin n\alpha=\frac{1}{2i}\left(e^{i n\alpha}-e^{-i n\alpha}\right)$. Если, конечно, это позволено.

нет, так нельзя, способ предложенный RIP верный

to RIP отличный способ, но как об этом догадаться?

[ИСН]

nechaeff в сообщении #207240 писал(а):

отличный способ, но как об этом догадаться?

сделать "как нельзя", потом, глядя на ответ, написать с конца "как надо", а тот листок сжечь
или, если угодно, так: хотим каждый член расщепить на два, чтобы он как-нибудь красиво сократился с соседними. Синус умножить на косинус - это то ли сумма, то ли разность чего-то там. О! Идея: вот и домножим на косинус...

[nechaeff]

Вот еще несколько сложностей:
исследовать на условную и абсолютную сходимость ряды:
1) $\sum\limits_{n=1}^{n} (-1)^{n-1} \frac {2^n\sin^{2n}x}{n}$
как я рассуждаю: $\sum\limits_{n=1}^{n} \frac {2^n}{n}$ расходится, $\sum\limits_{n=1}^{n} {\sin^{2n}x}$ ограниченный ряд, следователь но первоначальный ряд расходится

2) $\sum\limits_{n=1}^{n} \frac {\sin n \sin n^2}{n}$

как я рассуждаю: $\sum\limits_{n=1}^{n} \frac \sin n $ сходится, $\sum\limits_{n=1}^{n} \sin n^2 $ расходится, следовательно ряд $\sum\limits_{n=1}^{n} \frac {\sin n \sin n^2}{n}$ расходится

3) Найти сумму ряда:
$\sum\limits_{n=0}^{n} n (\frac {2}{3})^n$
можно переписать в виде

$\sum\limits_{n=0}^{n} \frac {n2^n}{3^n}$ , видно что сходиться, но как найти сумму не пойму

[GAA]

1. Неправильно. Я бы делал так: a) используя радикальный признак Коши, нашел бы при каких $x$ ряд сходится абсолютно, а при каких $x$ он расходится; b) в тех точках, где признак Коши не позволяет судить о абсолютной сходимости, провел бы дополнительное исследование, в частностии, на условную сходимость (в данном случае применил бы признак Лейбница).

2. Неправильно. Примените признак Дирихле.

3. Предполагается, что вы умеете находить сумму геометрической прогрессии. Попытайтесь применить теоремы о почленном интегрировании или дифференцировании ряда. Эта тема подробно изложена, например, в книге
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. — М.: Наука, 1964 (djvu).

[xaxa3217]

GAA писал(а):

3. Предполагается, что вы умеете находить сумму геометрической прогрессии. Попытайтесь применить теоремы о почленном интегрирование или дифференцирование ряда.

попроще будет (кому не даются производные дробно-рациональных функций):
$\sum\limits_{i=1}^{n}ix^i=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i}^{n}x^j=\sum\limits_{i=1}^{n}{x^i}\frac{1-x^{n-i+1}}{1-x}=\frac{1}{1-x}[\sum\limits_{i=1}^{n}x^i+\sum\limits_{i=1}^{n}x^{n-1}]$
как-то так.