2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 спектральный радиус и норма линейного оператора
Сообщение25.04.2009, 10:24 
Аватара пользователя
простой вопрос - верно ли что если известно что спектральный радиус неоторого линейного оператора строго меньше единицы, то тоже можно сказать и про его норму (какую-то из)? для матриц например это утверждение верно. остается ли оно верным для интегральных операторов?
не вижу что может нарушиться при переходе от конечно мерных пространств к бесконечномерным.

спасибо.

 
 
 
 
Сообщение25.04.2009, 16:02 
Аватара пользователя
ecartman в сообщении #208018 писал(а):
для матриц например это утверждение верно.

И для матриц неврено. Рассмотрите Жорданову клетку
$$\left(
  \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    0 & 0 \\
  \end{array}
\right)$$

 
 
 
 
Сообщение25.04.2009, 20:22 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
ecartman в сообщении #208018 писал(а):
для матриц например это утверждение верно.

И для матриц неврено. Рассмотрите Жорданову клетку
$$\left(
  \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    0 & 0 \\
  \end{array}
\right)$$


для матриц это утверждение верно, это известный результат и широко применяется в численных итерационных методах. и Ваш пример это показывает, допустим
A=\left(
  \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    0 & 0 \\
  \end{array}
\right)
то существует результат что если $S$ невырожденная квадратная матрица то \|A\|_s=\|SAS^{-1}\|=\|S^{-1}AS\| также определяет норму. Возьмем
S=\left(
  \begin{array}{cc}
    \epsilon & 0 \\
    0 & 1 \\
  \end{array}
\right)
где $\epsilon>0$. Тогда \|A\|_s=\epsilon\|A\| и далее достаточно взять $\epsilon<1$.

 
 
 
 
Сообщение26.04.2009, 07:09 
Может быть, Вы путаете с неотрицательными эрмитовыми операторами? В этом случае макс. собственное число действительно есть норма. В общем случае обычно рассматривают $A^*A$ и сингулярные числа.

 
 
 
 
Сообщение26.04.2009, 08:00 
ecartman в сообщении #208151 писал(а):
для матриц это утверждение верно, это известный результат и широко применяется в численных итерационных методах.

Это никак не используется в итерационных методах. Поскольку для них важен именно спектральный радиус, а на норму как таковую этим методам плевать.

ecartman в сообщении #208018 писал(а):
если известно что спектральный радиус неоторого линейного оператора строго меньше единицы, то тоже можно сказать и про его норму (какую-то из)?

А что понимается под нормой матрицы? Имеется ли в виду, что это -- операторная норма или хотя бы согласованная? Иначе в этом утверждение смысла ни малейшего: любую норму матрицы можно сделать коль угодно малой, домножив её на некоторую фиксированную константу.

Например, норма

ecartman в сообщении #208151 писал(а):
$\|A\|_s=\|SAS^{-1}\|$

безусловно не является операторной. И согласованной быть вроде бы тоже не обязана.

ecartman в сообщении #208018 писал(а):
не вижу что может нарушиться при переходе от конечно мерных пространств к бесконечномерным.

Меняется хотя бы то, что в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, и относительно любой из них пространство полно. В бесконечномерном же пространстве неверно ни то, ни другое.

 
 
 
 
Сообщение26.04.2009, 09:23 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Это никак не используется в итерационных методах. Поскольку для них важен именно спектральный радиус, а на норму как таковую этим методам плевать.


Условия сходимости итерационных методов сначала формулируются в терминах норм, но в силу того что нормы масштабируются, эти условия эквивалентно переформулируются в терминах собственных значений. Например, если интересует сходимость
суммы \sum_{k\ge0}A^k, сначала делается утверждение что ряд сходится если \|A\|<1 для некоторой нормы, а затем используется результат что это условие эквивалентно тому что \rho(A)<1, где \rho(A) - есть спектральный радиус. Т.е. если \rho(A)<1 то \sum_{k\ge0}A^k=(I-A)^{-1}, обратное тоже верно.

Собственно сходимость такой суммы меня и интересует. Для матриц как я уже сказал достаточно \rho(A)<1. А вот для линейных (конкретнее, интегральных) операторов будет ли этого условия достаточно?

ewert писал(а):
А что понимается под нормой матрицы? Имеется ли в виду, что это -- операторная норма или хотя бы согласованная? Иначе в этом утверждение смысла ни малейшего: любую норму матрицы можно сделать коль угодно малой, домножив её на некоторую фиксированную константу.


вообще говоря согласованная.

 
 
 
 
Сообщение26.04.2009, 09:29 
ecartman в сообщении #208259 писал(а):
Для матриц как я уже сказал достаточно \rho(A)<1. А вот для линейных (конкретнее, интегральных) операторов будет ли этого условия достаточно?

Достаточно. Конечномерность пространства тут не при чём, нужна лишь его полнота. Поскольку $\rho(A)\equiv\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}.$. Если радиус меньше единицы, то последовательность частичных сумм фундаментальна по норме (оценивается геометрической прогрессией).

 
 
 
 
Сообщение28.04.2009, 10:09 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
ecartman в сообщении #208259 писал(а):
Для матриц как я уже сказал достаточно \rho(A)<1. А вот для линейных (конкретнее, интегральных) операторов будет ли этого условия достаточно?

Достаточно. Конечномерность пространства тут не при чём, нужна лишь его полнота. Поскольку $\rho(A)\equiv\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}.$. Если радиус меньше единицы, то последовательность частичных сумм фундаментальна по норме (оценивается геометрической прогрессией).


все понятно, большое спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group