спектральный радиус и норма линейного оператора

[ecartman]

простой вопрос - верно ли что если известно что спектральный радиус неоторого линейного оператора строго меньше единицы, то тоже можно сказать и про его норму (какую-то из)? для матриц например это утверждение верно. остается ли оно верным для интегральных операторов?
не вижу что может нарушиться при переходе от конечно мерных пространств к бесконечномерным.

спасибо.

[shwedka]

ecartman в сообщении #208018 писал(а):

для матриц например это утверждение верно.

И для матриц неврено. Рассмотрите Жорданову клетку

$$\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

[ecartman]

shwedka писал(а):

ecartman в сообщении #208018 писал(а):

для матриц например это утверждение верно.

И для матриц неврено. Рассмотрите Жорданову клетку

$$\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

для матриц это утверждение верно, это известный результат и широко применяется в численных итерационных методах. и Ваш пример это показывает, допустим
A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)
то существует результат что если $S$ невырожденная квадратная матрица то \|A\|_s=\|SAS^{-1}\|=\|S^{-1}AS\| также определяет норму. Возьмем
S=\left( \begin{array}{cc} \epsilon & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)
где $\epsilon>0$. Тогда \|A\|_s=\epsilon\|A\| и далее достаточно взять $\epsilon<1$.

[Юстас]

Может быть, Вы путаете с неотрицательными эрмитовыми операторами? В этом случае макс. собственное число действительно есть норма. В общем случае обычно рассматривают $A^*A$ и сингулярные числа.

[ewert]

ecartman в сообщении #208151 писал(а):

для матриц это утверждение верно, это известный результат и широко применяется в численных итерационных методах.

Это никак не используется в итерационных методах. Поскольку для них важен именно спектральный радиус, а на норму как таковую этим методам плевать.

ecartman в сообщении #208018 писал(а):

если известно что спектральный радиус неоторого линейного оператора строго меньше единицы, то тоже можно сказать и про его норму (какую-то из)?

А что понимается под нормой матрицы? Имеется ли в виду, что это -- операторная норма или хотя бы согласованная? Иначе в этом утверждение смысла ни малейшего: любую норму матрицы можно сделать коль угодно малой, домножив её на некоторую фиксированную константу.

Например, норма

ecartman в сообщении #208151 писал(а):

$\|A\|_s=\|SAS^{-1}\|$

безусловно не является операторной. И согласованной быть вроде бы тоже не обязана.

ecartman в сообщении #208018 писал(а):

не вижу что может нарушиться при переходе от конечно мерных пространств к бесконечномерным.

Меняется хотя бы то, что в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, и относительно любой из них пространство полно. В бесконечномерном же пространстве неверно ни то, ни другое.

[ecartman]

ewert писал(а):

Это никак не используется в итерационных методах. Поскольку для них важен именно спектральный радиус, а на норму как таковую этим методам плевать.

Условия сходимости итерационных методов сначала формулируются в терминах норм, но в силу того что нормы масштабируются, эти условия эквивалентно переформулируются в терминах собственных значений. Например, если интересует сходимость
суммы \sum_{k\ge0}A^k, сначала делается утверждение что ряд сходится если \|A\|<1 для некоторой нормы, а затем используется результат что это условие эквивалентно тому что \rho(A)<1, где \rho(A) - есть спектральный радиус. Т.е. если \rho(A)<1 то \sum_{k\ge0}A^k=(I-A)^{-1}, обратное тоже верно.

Собственно сходимость такой суммы меня и интересует. Для матриц как я уже сказал достаточно \rho(A)<1. А вот для линейных (конкретнее, интегральных) операторов будет ли этого условия достаточно?

ewert писал(а):

А что понимается под нормой матрицы? Имеется ли в виду, что это -- операторная норма или хотя бы согласованная? Иначе в этом утверждение смысла ни малейшего: любую норму матрицы можно сделать коль угодно малой, домножив её на некоторую фиксированную константу.

вообще говоря согласованная.

[ewert]

ecartman в сообщении #208259 писал(а):

Для матриц как я уже сказал достаточно \rho(A)<1. А вот для линейных (конкретнее, интегральных) операторов будет ли этого условия достаточно?

Достаточно. Конечномерность пространства тут не при чём, нужна лишь его полнота. Поскольку $\rho(A)\equiv\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}.$. Если радиус меньше единицы, то последовательность частичных сумм фундаментальна по норме (оценивается геометрической прогрессией).

[ecartman]

ewert писал(а):

ecartman в сообщении #208259 писал(а):

Для матриц как я уже сказал достаточно \rho(A)<1. А вот для линейных (конкретнее, интегральных) операторов будет ли этого условия достаточно?

Достаточно. Конечномерность пространства тут не при чём, нужна лишь его полнота. Поскольку $\rho(A)\equiv\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}.$. Если радиус меньше единицы, то последовательность частичных сумм фундаментальна по норме (оценивается геометрической прогрессией).

все понятно, большое спасибо!