как предсказать точность вычисления подкоренного выражения?

[Горьковчанин]

Уважаемые!
Есть задача (№320, Гюнтер и Кузьмин, Т. 3):
С какой точностью надо производить вычисления подкоренных величин в выражении

$$P=96\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}} =6.282063908\dots$$

, чтобы получить $P$ с точностью до $0{,}001$?
В ответе написано:

Цитата:

Точность вычисления подкоренных величин такова: под первым корнем: $6\cdot 10^{-7}$, под вторым $2\cdot10^{-6}$, под третьим $10^{-5}$, под четвертым $4\cdot10^{-5}$.

Откуда берутся эти числа?

Можно оценить $P$, начиная c $1{,}7<\sqrt3<1{,}8$: $5<P<7$. Погрешность вычисления первого корня должна быть $0{,}001/96=10^{-5}$. Обозначим

$$P_1=2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$$

, $0{,}0556<\sqrt{P_1}<0{,}0714}$. Тогда точность $\delta_1$ вычисления первого подкоренного выражения может быть найдена из равенства $(\sqrt{P_1}+10^{-5})^2=P_1+\delta_1$, откуда $\delta_1\approx 2\cdot 10^{-5}\cdot \sqrt{P_1}$ заключена между $1{,}1\cdot10^{-6}$ и $1{,}4\cdot10^{-6}$. Ни одно число из ответа Гюнтера и Кузьмина не лежит в этих границах!

С другой стороны, удерживая только 6 значащих цифр, получим: $P=6.28195$ и погрешность порядка $10^{-4}$.