Решение системы ДУ в ЧП

[agR]

Дана система уравнений:

$ \left\{ \begin{array}{l} \omega \frac {\partial C_j} {\partial x} + \varepsilon \frac {\partial C_j} {\partial t} + \frac {\partial q_j} {\partial t}= 0,\\ \frac {\partial q_j} {\partial t} = \beta (C_j - C_j^*),\\ C_j^* = f(q_j). \end{array} \right. $

с граничными условиями:

$ C_j(0,t)=C_0,j(t) $
$ q_j(x,0)=0 $

$\omega, \varepsilon, \beta$ - известные константы

Подскажите, пожалуйста, как можно исходя из данной системы найти значения $C_j$ и $q_j$? Где можно почитать о решении уравнений такого вида? В общем, интересует все, что может помочь в решении. Спасибо.

[agR]

В виду отсутствия ответов решил разъяснить....
Дело в том, что система с самого начала имела немного другой вид.

Первоначальная система:
$ \left\{ \begin{array}{l} \omega \frac {\partial C_j} {\partial x} + \varepsilon \frac {\partial C_j} {\partial t} + \frac {\partial q_j} {\partial t}= 0,\\ \frac {\partial q_j} {\partial t} = \beta (C_j - C_j^*),\\ q_j = f(C_j^* ). \end{array} \right. $
То есть меняется вид 3-го уравнения (что, как по мне, картины не меняет).

Поменял я его на
$ \left\{ \begin{array}{l} \omega \frac {\partial C_j} {\partial x} + \varepsilon \frac {\partial C_j} {\partial t} + \frac {\partial q_j} {\partial t}= 0,\\ \frac {\partial q_j} {\partial t} = \beta (C_j - C_j^*),\\ C_j^* = f(q_j). \end{array} \right. $
исходя из:
1) По имеющемуся $q_j$ я нахожу значение $C_j^*$.
2) Подставляя $C_j^*$ во 2-ое уравнение, я получаю значение частной производной $q_j$ по времени.
3) Подставляя эту производную в первое уравнение и проделав какие-то операции можно найти значение $C_j^*$.
4) 2-ой пункт плюс какие-то операции можно получить $q_j$.
И так n-ое количество итераций.
Таким образом получим искомое.

Народ, правилен ли хоть ход мысли? Если нет, наставьте на путь истинный. Спасибо.

[Mousy]

Укажите точнее, что требуется. Численное решение? Аналитическое? Рядами? Что такое $\beta, \omega, \epsilon$ - постоянные? Функциями каких переменных являются $q, C, C^*$? Какой вид имеет функция $f$? Потому что в самом общем виде задача не решается аналитически.

[agR]

Данная система - модель работы ионного фильтра.
Переменные
$\beta$ - коэффициент массопереноса,
$\omega$ - скорость фильтрования,
$\epsilon$ - пористость слоя
известны (имеют конкретные числовые значения) и не меняются.
Другие переменные:
$C_j$ - концентрация $j$-го иона в растворе,
$C_j^*$ - равновесная концентрация $j$-го иона в растворе,
$q_j$ - концентрация $j$-го иона в ионите.

Необходимо найти численное решение. То есть получить в любой момент времени профили концентраций ионов по длине фильтра.

Под уравнением вида $C_j^* = f(q_j)$ скрывалось уравнение:
$C_j^* = \frac {q_j C_i} {q_i k}$,
где
$k$ - некое число (константа),
$C_i$ - равновесная концентрация ионов водорода (для катионита) или гидроксильной группы (для анионита) в растворе,
$q_i$ - концентрация ионов водорода (для катионита) или гидроксильной группы (для анионита) в ионите.

С нахождением $C_i$ и $q_i$, ну соответственно и с $C_j^*$ трудностей не возникает.
А вот как дальше быть не знаю

[agR]

Почитал о методе конечных разностей.
На сколько я понял 2-ое уравнение
$\frac {\partial q_j} {\partial t} = \beta (C_j - C_j^*)$
можно представить таким уравнением:
$\frac {q_j^n^+^1 - q_j^n} {\tau} = \beta (C_j - C_j^*)$
из которого уже можно найти значение $q_j^n^+^1$:
$q_j^n^+^1=q_j^n+\tau\beta(C_j-C_j^*)$
С первым уравнением еще разбираюсь, но интересует правильный ли подход ко 2-му?

[Mousy]

Не совсем понял Вашу мысль. Всю ситему надо решать целиком. Насколько я понял по смыслу, индекс $i$ принимает значения $1,2$, а $j$ отличается от него.

Идея, пожалуй, правильная, только нужно учесть точность, с которой Вы хотите получить ответ. Данная схема даёт точность порядка $O(\tau)$, где $\tau$ - шаг по оси времени. Возможно, Вам может потребоваться более точная схема, зависит от задачи.

Первое уравнение - это типичное уравнение переноса. Решать его нужно, по сути, вдоль характеристик $x/\omega + t/\epsilon = const$. При этом для того, чтобы схема правильно работала, необходимо $\sigma = h/\tau <1$, где $h$ - шаг сетки по оси $x$. Методы решения можно прочитать, например, в книге
Лекции по вычислительной математике: Учебное пособие /
И.Б. Петров, А. И. Лобанов. — М.: Интернет-Университет
Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 523
с: ил., табл.— (Серия «Основы информационных технологий»)
ISBN 5-94774-542-9 (БИНОМ. ЛЗ)
ISBN 5-9556-0065-5 (ИНТУИТ.РУ)

Конкретный метод надо выбирать с учётом начальных данных. Скажем, если краевые условия имеют большие градиенты, то понадобятся более сложные схемы - гибридные и TVD, иначе могут возникнуть паразитные возрастающие осцилляции. В книге это всё описано.

[agR]

Mousy писал(а):

Не совсем понял Вашу мысль. Всю ситему надо решать целиком. Насколько я понял по смыслу, индекс $i$ принимает значения $1,2$, а $j$ отличается от него.

Да, все правильно... в моем случае $i=1$ - это равновесная концентрация водорода, а $i=2$ - это равновесная концентрация группы ОН. А $j$ - это концентрации других ионов.
Насчет точности, то в моем случае с одной стороны точность важна (область изучения - атомные электростанции все таки ), а с другой - очень нужен результат.
За книгу и советы большое спасибо, почитаю, постараюсь разобраться. Если что, сразу к Вам.