численное решение PDE

[fuzzy2006]

Здравствуйте. Пытаюсь численно решить следующее уравнение:
$a_1\frac{\partial f(r,t)}{\partial t}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f(r,t)}{\partial r}\right)=0$
$0\leqslant t \leqslant t_k$
$0\leqslant r \leqslant R$
Начальные условия заданны в конечный момент времени $t=t_k$:
$f(r,t_k)=a_2T_z(r)$
Граничное условие:
$a_3\frac{\partial f(R,t)}{\partial x}+f(R,t)=0$
Так как начальные условия заданны в конечный момент времени, интегрирование надо вести в «обратном времени».
Возникают следующие проблемы:
1) Не могу найти аналитического решения для такого типа уравнения. Аналитическое уравнение нужно для проверки правильности численного решения
2) Не могу найти литературу по численным методом решения подобных задач. Пока что пытаюсь решить в Matlab методом контрольного объема (по книге Патанкар С.В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости) – но там метода для обычных PDE, не знаю получиться ли что-либо толковое в итоге.
3) можно ли численно решить это уравнение с помощью какой-нибудь прикладной программы для МКЭ расчетов, например Comsol?!
Спасибо за внимание.
p.s. не пинайте, математика не основная моя специализация

[Gafield]

Какой знак имеет $a_1$?

Видимо, это была задача для круга для уравнения теплопроводности, так что еще надо задать граничное условие $\frac{\partial f(0,t)}{\partial r}=0$, чтобы решение было гладким при $r=0$.

[fuzzy2006]

Gafield писал(а):

Какой знак имеет $a_1$?

$a_1>0$

Gafield писал(а):

Видимо, это была задача для круга для уравнения теплопроводности, так что еще надо задать граничное условие $\frac{\partial f(0,t)}{\partial r}=0$, чтобы решение было гладким при $r=0$.

Да. Исходная задача - нагрев цилиндра. $r=0$ - ось симметрии, поток равен нулю.

[Gafield]

Ну, тогда это просто уравнение теплопроводности, только время идет "сверху вниз". Стандартный метод Фурье дает аналитическое решение. Цилиндрические функции появятся.

[fuzzy2006]

Скачал книгу Тихонов А. Н. Уравнения математической физики. Метод Фурье я так понимаю это метод разделения переменных?!
1. Есть ли что-нибудь попроще чем Тихонов А. Н.?! Т.е. есть ли книга где все решения и методы подробно разжеваны, с многочисленными примерами?!
Например, мне, не обладающему математической подготовкой, непонятно откуда рождается равенство $\frac{X’’}{X}=-h$, где $h=const $ формула (7) страница 201. И таких мест в книге много.
2. Не могу найти разбор решения для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах с граничным условием второго рода (конвективный теплообмен на поверхности).
3. Порекомендуйте справочник по УМФ, где все стандартные решения уже есть. Все-таки аналитическое решение для моего уравнения мне нужно только лишь что бы проверить численный алгоритм на начальном этапе, что бы понять правильно ли я решаю задачу в простейшем случае. На самостоятельное освоение УМФ может уйти много времени, а толку для моего приложения будет мало и не удастся быстро численно решить основную задачу с учетом нелинейностей свойств среды, излучения, сложной геометрии и т.п. Технология вывода аналитических формул для простейших задач конечно интересна, но иногда целесообразно просто посмотреть справочник с решением.
Спасибо.

[Gafield]

В "Справочнике по уравнениям тепло- и массопереноса", А.Д. Полянин и др., выписано явно решение для постоянной начальной функции. Там же имеются ссылки на книги Лыков "Теория теплопроводности" и Карслоу, Егер "Теплопроводность твердых тел", где это расматривается подробнее.