Оценить величину

[Falex]

Как мне оценить величину:

$$ \sum\nolimits_{i = n}^\infty {\sum\nolimits_{j = n}^\infty {a_i } } \cdot b_j \cdot z^j \cdot S_{i + j} $$

где
$ |S_k | \le n \cdot \left( {\frac{5}{{n - p}}} \right)^{\frac{k}{p}}, k > n > p $

[Falex]

Я понимаю,что эта величина

$$ \le n \cdot \sum\nolimits_{i,j = n}^\infty {|a_i |} \cdot |b_j | \cdot \left( {\frac{5}{{n - p}}} \right)^{\frac{{i + j}}{p}} \cdot |z|^j $$

А более компактно,красиво или ещё дальше оценить нельзя?

[Falex]

А вот можно оценить (прижать сверху ) такой остаток:

$$ \sum\limits_{m = n + 1}^\infty {\left( {\frac{5}{{n - q}}} \right)^{\frac{m}{q}} } \cdot |t|^m \cdot \frac{{|t|^{ - q} - 1}}{{1 - |t|}}, $$

где $|t|<1$,$m> n >q$.
Подскажите как.
Спасибо.

[Руст]

$$ \sum\limits_{m = n + 1}^\infty {\left( {\frac{5}{{n - q}}} \right)^{\frac{m}{q}} } \cdot |t|^m \cdot \frac{{|t|^{ - q} - 1}}{{1 - |t|}}=\frac{|t|^{-q}-1}{1-|t|}\frac{P^{\frac{n+1}{q}}}{R}, P=\frac{5|t|^q}{n-q},R=1-(\frac{5|t|^q}{n-q})^{\frac{1}{q}}, $$

здесь считается, что $5|t|^q<n-q$, иначе ряд расходится.

[Falex]

Мне не обязательно,чтобы он сходился.Мне важно его оценить.
Пусть в оценке будет даже сумма,но попроще будет выражение под суммой.Мне кажется,здесь важное место занимает,что $|t|<1$

[ИСН]

Если он не сходится, то что Вы собрались оценивать, а если сходится, то это геометрическая прогрессия и сворачивается банально, на что и указал Руст.

[Falex]

Хорошо.Допустим.А далее нельзя будет оценить полученное выражение?

[незваный гость]

Вы уверены, что не имели в виду что-либо типа:
$ \sum\limits_{m = n + 1}^\infty {\left( {\frac{5}{{m - q}}} \right)^{\frac{m}{q}} } \cdot |t|^m \cdot \frac{{|t|^{ - q} - 1}}{{1 - |t|}}? $ (ср. знаменатель первой дроби)
Иначе странновато, зачем считать остаток (геометрической прогрессии).

[Falex]

нет