Простые и сложные сигналы

[terricola]

В теории связи существует деление сигналов на простые и сложные. По определению, простым сигналом называется сигнал, для которого база $B \approx 1$, где база сигнала -- это произведение $B = T\Delta f$, здесь $T$ -- длительность сигнала, $\Delta f$ -- полоса частот, занимаемая сигналом. Сложный сигнал -- это такой сигнал для которого база $B \gg 1$.
У меня такой вопрос, корреляционная функция некоторого произвольного сигнала отностится к простым или сложным сигналам?

[e2e4]

А в чем заключается физический смысл Базы, как произведения полосы частот на длительность сигнала? Не могу сообразить.

[terricola]

Често говоря, мне кажется, что физ. смысла нет. Просто параметр для отделения одних сигналов от других. Вроде короткие, но навороченные сигналы, типа ЛЧМ, OFDM или последовательности, модулированной кодом Баркера, имеют оч. широкий спектр => за счёт широкого спектра у них большая база.

[photon]

Если мне не изменяет память, то спектр конечного сигнала бесконечен, поэтому, выбор того, что принять за $\Delta f$ достаточно условен и, соответственно, величина базы с понятием простой-сложный тоже условны.

Добавлено спустя 6 минут 1 секунду:

Я не спец, но наверное правильно ставить вопрос так: сложным или простым сигналом будет корреляционная функция сигналов а) двух простых; б) простого и сложного; в) двух сложных.

[terricola]

Да, тов. photon, безусловно прав. Я конечно со своей стороны должен был уточнить, автокорреляционная функция простого сигнала и автокорреляционная функция сложного сигнала. Извиняюсь за неточности своего вопроса.

[photon]

photon в сообщении #206618 писал(а):

выбор того, что принять за $\Delta f$ достаточно условен

Разобрался. Это не так

там фигурирует не длительность и ширина спектра, а эффективная длительность и эффективная ширина спектра.

$$T_{eff}=\frac{1}{I_{0}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}S(t)dt$$

- то есть ширина прямоугольника, по высоте и по площади совпадающего с нашим сигналом. Аналогично и для спектра.

Как конкретно вывести для произвольного сигнала связь между базой сигнала и его автокорреляционной функции - не знаю, может помогут математики. У меня только некоторые соображения:
1) Для взаимнокорреляционной функции справедливо
$f(t)\star g(t) = f^*(-t)*g(t)$
$\mathcal{F}[f\star g]=(\mathcal{F}[f])^* \cdot (\mathcal{F}[g])$
где $\star$ - свёртка, $*$ - корреляция и, когда верхним индексом, комплексное сопряжение, $\mathcal{F}$ - преобразование Фурье. Тогда для автокорреляционной функции, если не ошибаюсь, спектр равен квадрату модуля спектра нашего сигнала.
2) Длительность сигнала автокорреляционной функции у меня получается все время меньше длительности самого сигнала.

Куда ни плюнь, база не увеличивается что-то. Нутром чую, но доказать не могу, что автокорреляционная функция является простой в любом случае. Может кто-то приведет контр-пример?

[epros]

А я что-то не понял вопроса в другом аспекте:
Насколько я помню, энергетический спектр случайного сигнала - это и есть Фурье-образ его автокорреляционной функции. Я не понял, нужно что же, сравнить Фурье-образ некой реализации случайного сигнала с Фурье-образом его автокорреляционной функции?

[terricola]

epros писал(а):

А я что-то не понял вопроса в другом аспекте:
Насколько я помню, энергетический спектр случайного сигнала - это и есть Фурье-образ его автокорреляционной функции. Я не понял, нужно что же, сравнить Фурье-образ некой реализации случайного сигнала с Фурье-образом его автокорреляционной функции?

Во-первых, кто сказал, что сигнал случайный: он произвольный, в т.ч. и может быть детерминированный. Во-вторых, нужно не сравнивать Фурье-образы, а оценить базу автокорреляционной функции произвольного сигнала с целью дать ответ, к какому типу сигналов она относится.
Вот моя оценка. Пусть эффективная длительность автокорреляционной функции равна времени корреляции

$$\tau_k = \dfrac{1}{K(0)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}K(t)dt$$

.
Ширина спектра сигнала

$$\Delta f = \dfrac{1}{2\pi S(0)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)d\omega$$

,
где $S(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}K(t)e^{-j\omega t}dt$ -- спектральная плотность энергии. Тогда $K(t) = \dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Следовательно, $\Delta f = \dfrac{K(0)}{S(0)}$. Перемножая $\Delta f$ и $\tau_k$ получаем, что база равна единице, $B = 1$.

[epros]

terricola писал(а):

Во-первых, кто сказал, что сигнал случайный: он произвольный, в т.ч. и может быть детерминированный. Во-вторых, нужно не сравнивать Фурье-образы, а оценить базу автокорреляционной функции произвольного сигнала с целью дать ответ, к какому типу сигналов она относится.

М-мм. А что такое автокорреляционная функция детерминированного сигнала?
Насколько я знаю, корреляция определяется как результат усреднения по реализациям процесса. Хотя если исходить из предположения эргодичности процесса, это можно заменить усреднением по времени. Но само по себе это предположение нетривиальное. Правильно ли я понял, что Вы по определению принимаете, что автокорреляция - это интеграл по времени?

terricola писал(а):

Вот моя оценка. Пусть эффективная длительность автокорреляционной функции равна времени корреляции

$$\tau_k = \dfrac{1}{K(0)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}K(t)dt$$

.
Ширина спектра сигнала

$$\Delta f = \dfrac{1}{2\pi S(0)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)d\omega$$

,
где $S(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}K(t)e^{-j\omega t}dt$ -- спектральная плотность энергии. Тогда $K(t) = \dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}S(\omega)e^{j\omega t}d\omega$. Следовательно, $\Delta f = \dfrac{K(0)}{S(0)}$. Перемножая $\Delta f$ и $\tau_k$ получаем, что база равна единице, $B = 1$.

Рассмотрите в качестве примера длинный ЛЧМ (линейно частотно-модулированный) импульс:
$x(t) = sin(\omega t + a t^2)$, где $t \in (0,T)$, и $x(t) = 0$, где $t \not\in (0,T)$.
Он согласно Вашему определению "сложный" сигнал. Однако его "автокорреляционная функция" представляет собой короткий импульс, т.е. является согласно Вашему определению "простым сигналом".

[terricola]

То epros:
Можно искусственно ввести плотность распределения для детерминированного сигнала (через $\delta$-функцию), хотя вы правы, да я считаю сигналы эргодичными (ведь так в большинстве случаев и бывает).
Насчёт вашего примера. Тут вы тоже абсолютно правы, ЛЧМ сигнал относится к сложным сигналам, а его автокорреляционная функция действительно простой сигнал. Я предлагаю вспомнить согласованный фильтр и его свойства. На его выходе -- автокорреляционная функция сигнала, также он "сжимает" сложные сигналы, превращая их в простые. Эффективная ширина спектра при этом не меняется, а за счёт ументшения эффективной длительности база $B \approx 1$.

[epros]

terricola писал(а):

Я предлагаю вспомнить согласованный фильтр и его свойства. На его выходе -- автокорреляционная функция сигнала, также он "сжимает" сложные сигналы,

Да, хотя я бы не назвал операцию пропускания через согласованный фильтр "сжатием сигнала".

terricola писал(а):

Эффективная ширина спектра при этом не меняется,

Может даже слегка уменьшаться.

terricola писал(а):

а за счёт ументшения эффективной длительности

Длительность может слегка увеличиваться.

Цитата:

база $B \approx 1$.

Рассмотрите сигнал, составленный из большого количества одинаковых коротких импульсов, повторяющихся через равные промежутки, длительностью много больше ширины каждого импульса. Возможно, Ваше правило "сжатия базы согласованным фильтром" формально и работает, однако физический смысл самого понятия базы в этом случае как-то теряется: ибо и "эффективная длительность" и "эффективная ширина спектра" в этом случае вряд ли соответствуют чему-то осмысленному.