Ряды Лорана

[bundos]

Для произвольного $A$ найти последовательность $z_k\to 0$, такую, чтобы $e^{\frac1{z_k}}\to A$ (существование гаранитируется теоремой Сохоцкого).

[Brukvalub]

Если

\[ A \ne 0 \Rightarrow \exists w:e^w = A \Rightarrow e^{w + 2\pi ni} = A\quad n \to + \infty \Rightarrow \left| {w + 2\pi ni} \right| \to + \infty \]

Остальное додумайте сами.

[bundos]

Вычислить вычет функции $f(z)=\sin(z+\frac1{z})$ в точке $z=0$ до 4 значащих цифр и оценить погрешность.

[Brukvalub]

Примените формулу синуса суммы и стандартные разложения в ряд.

[bundos]

Может ли функция $f(z)=\frac1{1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+...+\frac{z^n}{n!}}$ иметь при каком-нибудь $n$ в комплексной плоскости полюс порядка большего 1? Если да, то найти эти $n$.

[RIP]

bundos в сообщении #206575 писал(а):

Может ли функция $f(z)=\frac1{1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+...+\frac{z^n}{n!}}$ иметь при каком-нибудь $n$ в комплексной плоскости полюс порядка большего 1? Если да, то найти эти $n$.

Переформулируйте вопрос в терминах функции (многочлена) $f(z)^{-1}$. Должно помочь.

[bundos]

Ну у меня как раз и неполучается определить при каких $n$ порядок нуля $g(z)=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+...+\frac{z^n}{n!}$ будет больше 1.

[RIP]

bundos в сообщении #206580 писал(а):

Ну у меня как раз и неполучается определить при каких $n$ порядок нуля $g(z)=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+...+\frac{z^n}{n!}$ будет больше 1.

Допустим, что $z_0$ --- кратный корень. Запишите это условие формулками.

[bundos]

С этим вроде как разобрался. Вот ещё задача: Вычислить интеграл $\int_{0}^{2\pi}\frac{(1+2\cos x)^n\cos{nx}dx}{3+2\cos x}$

Добавлено спустя 32 минуты 25 секунд:

Вот задача: Доказать, что если $z_0=\infty$- изолированная особая точка функции $f(z)$, то $Res_{z=\infty}f(z)=-Res_{\psi=0}[\frac1{\psi^2}f(\frac1{\psi})]$.
$Res_{z=\infty}f(z)=-c_{-1}$; $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n, |z|>a$; $z=\frac1{\psi}$; $\frac1{\psi ^2}f(\frac1{\psi})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{c_n}{\psi ^{n+2}}, |\psi|<\frac1{a} \Rightarrow Res_{z=\infty}f(z)=-Res_{\psi=0}[\frac1{\psi^2}f(\frac1{\psi})]$.

[RIP]

bundos в сообщении #206777 писал(а):

Вычислить интеграл $\int_{0}^{2\pi}\frac{(1+2\cos x)^n\cos{nx}dx}{3+2\cos x}$

Стандартная замена $z=e^{ix}$. Получается интеграл по окружности, который считается с помощью теоремы Коши о вычетах.

bundos в сообщении #206777 писал(а):

Доказать, что если $z_0=\infty$- изолированная особая точка функции $f(z)$, то $Res_{z=\infty}f(z)=-Res_{\psi=0}[\frac1{\psi^2}f(\frac1{\psi})]$.
$Res_{z=\infty}f(z)=-c_{-1}$; $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n, |z|>a$; $z=\frac1{\psi}$; $\frac1{\psi ^2}f(\frac1{\psi})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{c_n}{\psi ^{n+2}}, |\psi|<\frac1{a} \Rightarrow Res_{z=\infty}f(z)=-Res_{\psi=0}[\frac1{\psi^2}f(\frac1{\psi})]$.

Вроде верно.

[bundos]

По поводу задачи

bundos писал(а):

Может ли функция $f(z)=\frac1{1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3!}+...+\frac{z^n}{n!}}$ иметь при каком-нибудь $n$ в комплексной плоскости полюс порядка большего 1? Если да, то найти эти $n$.

Можно ли было продифференцировать $n-1$ раз $g(z)$, а затем сказать,точки, в корых производные равны нулю не являются нулями $g(z)$, значит функции ни прикаком $n$ не может иметь нули порядка больше 1?

[RIP]

А зачем $n-1$ раз дифференцировать? По-моему, достаточно одного раза.

[bundos]

Вот задача: Найти все натуральные $n$ при которых функция $f(z)=\frac1{(z+1)^n-z^n-1}$ будет иметь полюс порядка больше 1. В этом случае также точки в которых производые $g(z)$ равны нулю не будут являтся нулями функции?

Добавлено спустя 2 часа 12 минут 32 секунды:

Возник вопрос: Допустим ряд $\frac1{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n}$ представили в виде $\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n$. Как опрделить $b_n$?

[Someone]

bundos в сообщении #206849 писал(а):

Как опрделить $b_n$?

Как хотите, чтобы только сумма правильная была.

[RIP]

bundos в сообщении #206849 писал(а):

Найти все натуральные $n$ при которых функция $f(z)=\frac1{(z+1)^n-z^n-1}$ будет иметь полюс порядка больше 1. В этом случае также точки в которых производые $g(z)$ равны нулю не будут являтся нулями функции?

Не угадали. Например, при $n=7$ появляются кратные полюса.