Дифференцируемость!

[daogiauvang]

Дана функция

$$f: [0,1] \to R$$

дифференцируема 2-го порядка и $f''(x) >0$при $x \in [0,1]$.
Доказать,что

$$2 \int\limits_{0}^{1} f(t) dt \geq 3 \int\limits_{0}^{1} f(t^2)dt -f(0)$$

[RIP]

Обозначим $g(x)=f'(x)$. Тогда требуемое неравенство можно переписать в виде

$$\int_0^1(g(x)-g(1/4))(3\sqrt x-2x-1)\,dx\ge0,$$

а последнее неравенство очевидно (интегрируется неотрицательная функция; даже положительная, если забить на $x=1/4$, так что неравенство строгое на самом деле).

[daogiauvang]

как Вы переписали??? Я прямо не увидел

[RIP]

daogiauvang в сообщении #206024 писал(а):

как Вы переписали???

Ньютон-Лейбниц+Фубини (пока не обращайте внимания на $g(1/4)$, оно добавляется в самом конце).

[xaxa3217]

daogiauvang писал(а):

как Вы переписали??? Я прямо не увидел Embarassed

Возьмите каждый интеграл по частям, в последнем избавьтесь от квадрата аргумента соответствующей заменой. Обратите внимание, что "олимпиадность" задачи проявляется в конце:
$\int\limits_{0}^{1}\varphi(x)dx=0, f''(x)>0 => \int\limits_{0}^{1}f'(x)\varphi(x)dx=\int\limits_{0}^{1}[f'(x)-f'(a)]\varphi(x)dx; a>0: \varphi(x)\leq 0, x\leq a;\varphi(x)\geq 0,x\geq a$