Найти кратчайшее расстояние от точки до прямой

[Stolen]

Найти кратчайшее расстояние от точки $M(1;2;3)$ до прямой $\frac{x}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{2}$.
Соображения были, но их вооплащение в жизнь кануло в лету.

[ewert]

Это -- не очень простая задача, хотя и вполне стандартная. Наиболее идейный подход (не считая, конечно, готовых формул): напишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной прямой, и найдите точку пересечения этой плоскости с прямой. А потом посчитайте расстояние от найденной точки до исходной.

Ну и ещё можно посчитать то расстояние через проекции -- что существенно эффективнее, но и требует несколько больших теоретических знаний.

[VAL]

ewert писал(а):

напишите уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной прямой, и найдите точку пересечения этой плоскости с прямой. А потом посчитайте расстояние от найденной точки до исходной.

Ну и ещё можно посчитать то расстояние через проекции -- что существенно эффективнее, но и требует несколько больших теоретических знаний.

А разве предложенный вариант не через проекции?

[vlad239]

Можно еще записать уравнение прямой в параметрической форме и найти экстремум функции расстояния.

Влад.

[ewert]

VAL в сообщении #205978 писал(а):

А разве предложенный вариант не через проекции?

Нет. Альтернативный вариант выглядит примерно так. Выбрать какую-то точку на прямой (а она уже есть). Написать вектор, связывающий эту точку с исходной. Спроецировать его на направляющий вектор. И вычесть по теореме Пифагора длину полученного вектора из расстояния между теми самыми двумя точками.

Конечно, всё в этом мире эквивалентно. Но второй вариант -- технически выглядит вроде проще.

[Мат]

1. Данная прямая содержит вектор-нормаль плоскости, проходящей через точку $M$:
$N(1, -3, 2)$. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой будет:
$x-3y+2z+D=0$
2. Собственно задача свелась к нахождению коэффициента $D$ - свободного члена в уравнении плоскости

[vvvv]

Проще сделать так:

[Stolen]

vvvv писал(а):

Проще сделать так:

Ответ верный, но как получен непонятно.

[vvvv]

На заданной прямой возьмем точку B (или что то же - вектор В).Точку А, также можно считать вектором.
Рассмотрим модуль векторного произведения векторов А и В. Численно он равен площади параллелограмма, построенного на вектороа А и В.Если теперь эту площадь разделим на длину вектора В, то получим высоту параллелограмма, а это и будет расстояние (кратчайшее расстояние) точки А до заданной прямой

[ewert]

vvvv в сообщении #206063 писал(а):

На заданной прямой возьмем точку B (или что то же - вектор В).Точку А, также можно считать вектором.

Ни в коем случае точки нельзя считать векторами. Вам просто повезло, что прямая проходит через начало координат.

[GAA]

vvvv, предупреждение за неиспользование тега math, при наборе формул.

[vvvv]

ewert писал(а):

vvvv в сообщении #206063 писал(а):

На заданной прямой возьмем точку B (или что то же - вектор В).Точку А, также можно считать вектором.

Ни в коем случае точки нельзя считать векторами. Вам просто повезло, что прямая проходит через начало координат.

Да неуже ли? Это интересно.В данной задаче прямая проходит через начало координат и точки А и В то же, что и векторы приложенные в начале координат.
Этот прием годится для любой похожей задачи и для любой прямой.Можете задачу такую предложить и мне опять повезет

[ewert]

Пожалуйста. Найти кратчайшее расстояние от точки $M(3;1;2)$ до прямой $\frac{x}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z+1}{-2}$.. Любопытно, каким именно способом Вам будет везти.

[vvvv]

Пожалуйста

[PAV]

vvvv
строгое предупреждение за игнорирование указание модератора и за публикацию готового решения учебной задачи. Еще раз замечу что-либо подобное - пеняйте на себя.