система о.д.у.

[lenok.marshal]

Подскажите как решить систему о.д.у. (имею ввиду аналитически, система хоть и не линейная, но с симметриями, а вдруг..). Если нельзя тоже скажите!

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x_1=c_1 (1-x_1)(d_1x_1+d_2x_2+d_3x_3),\\ \dot x_2=c_2 (1-x_2)(d_1x_1+d_2x_2+d_3x_3),\\ \dot x_3=c_3 (1-x_3)(d_1x_1+d_2x_2+d_3x_3), \\ x_1(0)=x_2(0)=x_3(0)=x_0 \end{array} \right. $

c d константы

[Утундрий]

Разделите первое уравнение на второе, на третье и еще второе на третье...

[lenok.marshal]

Cпасибо за совет. Да, получается решение в неявном виде: функции выражаются одна через другую.

Меня интересует есть ли метод, с помощью которого можно получить решение, в котором функции выражаются через время в явном виде? Наверное достаточно рассмотреть систему из двух уравнений аналогичного вида..

[Утундрий]

Выразите $\[x_2 \]$ и $\[x_3 \]$ через $\[x_1 \]$ и подставьте в одно из уравнений системы...

[lenok.marshal]

Утундрий писал(а):

Выразите $\[x_2 \]$ и $\[x_3 \]$ через $\[x_1 \]$ и подставьте в одно из уравнений системы...

Например, система попроще с двумя неизвестными:

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x_1=c_1 (1-x_1)(d_1x_1+d_2x_2),\\ \dot x_2=c_2 (1-x_2)(d_1x_1+d_2x_2),\\ x_1(0)=x_2(0)=x_0 \end{array} \right. $

Делим одно на другое:

$$\frac{dx_1}{dx_2}=\frac{c_1 (1-x_1)}{c_2(1-x_2)}$$

Интегрируем:

$$\frac{1}{c_2} \ln |(1-x_2(t))/(1-x_0)|=\frac{1}{c_1} \ln |(1-x_1(t))/(1-x_0)|$$

Откуда:

$$x_2(t)=1-(1-x_1(t))^{\frac{c_2}{c_1}} (1-x_0)^{1-\frac{c_2}{c_1}}$$

Подставим в первое уравнение:

$$\dot x_1 = c_1 [1-x_1(t)][d_1 x_1(t)+d_2(1-(1-x_1(t))^{\frac{c_2}{c_1}} (1-x_0)^{1-\frac{c_2}{c_1}})]$$

И как дальше?

[Утундрий]

Численно, наверное. Причем имеет смысл рассматривать случаи $\[x_0 < 1\]$ и $\[x_0 > 1\]$ раздельно.

[lenok.marshal]

Была какая-то надежда, что можно выразить в явном виде, теперь понятно. Cпасибо.

[Утундрий]

А что понимается "явным видом"? Система в виду простоты своей структуры симметричности исходных данных свелась к нахождению всего одной функции времени и такая ли уж беда, что эта функция не выражается через элементарные? Кстати, эту редукцию можно провести в более симметричном по переменным виде.

Так, имеем систему

$$\[\dot x_i = c_i \left( {1 - x_i } \right)\left( {d_0 + \sum\limits_{j = 1}^n {d_j x_j } } \right)\]$$

с начальным условием $\[x_i 0) = x_0 \]$ ($\[1 \leqslant i \leqslant n\]$)
Сделаем замену

$$\[1 - x_i = (1 - x_0 )e^{c_i F} \]$$

тогда для функции $F$ получим дифф. уравнение

$$\[\dot F = - D + (1 - x_0 )f(F)\]$$

с начальным условием $\[F(0) = 0\]$
Здесь

$$\[D = \sum\limits_{j = 0}^n {d_j } \]$$

,

$$\[f(F) = \sum\limits_{j = 1}^n {d_j e^{c_j F} } \]$$

.

[lenok.marshal]

Вот, вот, спасибо! Так намного лучше. Диву даюсь, как просто люди выдумывают всякие замены, которые и численное решение делают более приятным..

[lenok.marshal]

Скажите, а почему возникла идея сделать именно такую замену

$$1-x_i(t)=(1-x_0)e^{c_iF(t)}$$

. Она очевидна?

Eсли система будет

$$\[\dot x_i = c_i \left( {1 - x_i } \right)\sum\limits_{j = 1}^n d_{ij} x_j } }\]$$

с начальным условием $\[x_i (0) = x_0 \]$ ($\[1 \leqslant i \leqslant n\]$), то есть $d_{ij}$ матрица, то что изменится? Какая будет замена?

[lenok.marshal]

А может кто другой, кто понимает, ответить на вопросы? Пожалуйста, а то так можно и не дождаться

Как будто точно такая замена и для матрицы, но мне это кажется странным...

[RIP]

lenok.marshal в сообщении #206896 писал(а):

Скажите, а почему возникла идея сделать именно такую замену

$$1-x_i(t)=(1-x_0)e^{c_iF(t)}$$

. Она очевидна?

Рискну предложить такое обоснование. Из системы получаем, что

$$\frac{\dot x_i}{c_i(1-x_i)}=f(t)$$

не зависит от $i$. Проинтегрируйте эти уравнения. С $d_{ij}$ так просто не получается.

[lenok.marshal]

Про замену поняла. Тогда получается, что для матрицы можно ввести $n$ функций $F_i$, $i=1,\ldots,n$ по тойже самой замене и получится $n$ идентичных уравнений для $F_i$. Все формулы применимы только надо сделать замены $F$ на $F_i$, $d_j$ на $d_{ij}$. Только больше ничего упростить нельзя да? Тогда и нет смысла для матрицы вводить какие-то замены... Ведь в случае констант получалось значительное упрощение: вместо системы уравнений решение одного уравнения и потом простой подстановкой находились исходные функции.

[Утундрий]

Совершенно верно, RIP

Систему

$$\[\dot x_i = c_i \left( {1 - x_i } \right)\sum\limits_{j = 1}^n d_{ij} x_j } }\]$$

в общем случае придется все-таки решать численно. Впрочем, я бы рекомендовал сперва провести некий аналог рассматривавшейся замены, а именно

$$1-x_i(t)=(1-x_0)e^{c_i y_i}$$

. Дело тут вот в чем: те $x_i$, которые с ростом времени приближаются к значению 1 никогда его не достигают. То есть, невозможны колебания вокруг 1, но такие колебания в принципе могли бы возникнуть вследствие использования какой-нибудь неудачной численной схемы. Переход к новым неизвестным $y_i (t)$ гарантирует отсутствие таких колебаний для любой процедуры численного интегрирования.

[lenok.marshal]

Cпасибки всем!

Делаю так

$$\[1 - x_i = (1 - x_0 )e^{c_i F_i} \]$$

$$\[\dot F_i = - D + (1 - x_0 )f(F_i)\]$$

с начальным условием $\[F_i(0) = 0\]$
Здесь

$$\[D = \sum\limits_{j = 0}^n {d_{ij} } \]$$

,

$$\[f(F) = \sum\limits_{j = 1}^n {d_{ij} e^{c_j F_j} } \]$$

. Так?

Что касается устойчивого состояния, то теоетически все функции $x_i(t)$ уйдут в единицу и никогда из нее не выйдут (начальные условия положительные и меньше единицы, все константы или матричные элементы положительны).