Замкнутые и открытые множества

[Виктор Викторов]

Каково достаточное условие, того чтобы разность двух замкнутых множеств в топологическом пространстве была открыта?

Подсказка: на числовой прямой разность между наименьшим сегментом, содержащим замкнутое множество, и этим замкнутым множеством открыта.

[Dan B-Yallay]

1) Если одно из этих множеств пусто?

2) Если одно из этих множеств - все пространство?

Укажите пожалуйста любой наименьший сегмент, содержащий отрезок [0,1], кроме самого этого отрезка.

[Хорхе]

Условие нелепо. Достаточных условий можно написать миллион самых разных.

Например, что "уменьшаемое" множество не только замкнуто, но и открыто.

[Brukvalub]

Виктор Викторов в сообщении #205437 писал(а):

Подсказка: на числовой прямой разность между наименьшим сегментом, содержащим замкнутое множество, и этим замкнутым множеством открыта.

Интересно, какой наименьший сегмент ( в переводе с басурманского - отрезок ) содержит замкнутое множество целых чисел?

[мат-ламер]

В качестве первого множества достаточно взять всё пространство Разность между ним и вторым замкнутым множеством будет открыто. Но формулировку задачи надо чуть изменить, потому как не совсем понятно, что означает "Каковы достаточные условия...". Точнее понятно, но непонятно, что имелось в виду.

[Brukvalub]

мат-ламер в сообщении #205520 писал(а):

В качестве первого множества достаточно взять всё пространство

или пустоту. Об этом здесь уже много писали:

Хорхе в сообщении #205459 писал(а):

Например, что "уменьшаемое" множество не только замкнуто, но и открыто.

[Виктор Викторов]

Dan B-Yallay писал(а):

Укажите пожалуйста любой наименьший сегмент, содержащий отрезок [0,1], кроме самого этого отрезка.

А чем Вас не устраивает тот факт, что отрезок содержит сам себя?

Хорхе писал(а):

Условие нелепо. Достаточных условий можно написать миллион самых разных.

Действительно, достаточных условий может быть много. Ну и что? Например, много достаточных условий сходимости рядов. И никто ещё не говорит, что это нелепо.

Brukvalub писал(а):

Интересно, какой наименьший сегмент ( в переводе с басурманского - отрезок ) содержит замкнутое множество целых чисел?

На басурманском языке не написано, что каждое замкнутое множество на прямой содержится в некотором сегменте. Наверняка только ограниченное.
Этим басурманским языком пользовался Исидор Натансон в книге «Теория функций вещественной переменной». Пример на числовой прямой (в немного другой аранжировке) там же. Мне больше нравится «открытый интервал» и «замкнутый интервал».

Достаточное условие, которое я имел ввиду: каждая граничная точка «уменьшаемого» замкнутого множества содержится в «вычитаемом» замкнутом множестве. (Докажите, пожалуйста, сами).

[inf76]

Виктор Викторов писал(а):

Достаточное условие, которое я имел ввиду: каждая граничная точка «уменьшаемого» замкнутого множества содержится в «вычитаемом» замкнутом множестве. (Докажите, пожалуйста, сами).

Это условие является и необходимым. Ведь при рассмотрении разности двух множеств, если граничная точка «уменьшаемого» множества принадлежащая множеству не содержится в «вычитаемом» множестве, то она остается граничной и в разности двух множеств.

[Хорхе]

Виктор Викторов писал(а):

Действительно, достаточных условий может быть много. Ну и что? Например, много достаточных условий сходимости рядов. И никто ещё не говорит, что это нелепо.

Так никто же не просит "написать достаточное условие сходимости числового ряда". Потому что это нелепо. Потому что большинство здравомыслящих людей напишут "все члены нули" или даже так: "$n$-й член равен $\Big((\pi-1)^{\sqrt{e}}+1.000012345\arctg10000\Big)^{-n}$". Чем не достаточное условие?

[Dan B-Yallay]

Виктор Викторов писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Укажите пожалуйста любой наименьший сегмент, содержащий отрезок [0,1], кроме самого этого отрезка.

А чем Вас не устраивает тот факт, что отрезок содержит сам себя?

Факт меня вполне устраивает.
С другой стороны меня устраивает и факт что 2+2=4.
Но спрашивать здесь о достаточном условии равенства суммы двух чисел четырем, с подсказкой 3+1=4 я как то в не решился.

Хотя, возможно я и неправ - не разглядел, что вопрос был задан начинающим топологам

[Виктор Викторов]

Хорхе писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Действительно, достаточных условий может быть много. Ну и что? Например, много достаточных условий сходимости рядов. И никто ещё не говорит, что это нелепо.

Так никто же не просит "написать достаточное условие сходимости числового ряда". Потому что это нелепо. Потому что большинство здравомыслящих людей напишут "все члены нули" или даже так: "$n$-й член равен $\Big((\pi-1)^{\sqrt{e}}+1.000012345\arctg10000\Big)^{-n}$". Чем не достаточное условие?

Я не знаю, был ли задан когда-либо вопрос о достаточном условии сходимости числового ряда, и не могу быть ответственным за большинство здравомыслящих людей. Но, конечно, математики открывшие признаки сходимости искали наиболее сильные достаточные условия не найдя необходимые и достаточные условия. Но при этом Ваш вариант «"уменьшаемое" множество не только замкнуто, но и открыто» тоже хорош. Просто это частный случай.

Dan B-Yallay писал(а):

Виктор Викторов писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Укажите пожалуйста любой наименьший сегмент, содержащий отрезок [0,1], кроме самого этого отрезка.

А чем Вас не устраивает тот факт, что отрезок содержит сам себя?

Факт меня вполне устраивает.
С другой стороны меня устраивает и факт что 2+2=4.
Но спрашивать здесь о достаточном условии равенства суммы двух чисел четырем, с подсказкой 3+1=4 я как то в не решился.

Хотя, возможно я и неправ - не разглядел, что вопрос был задан начинающим топологам

Уважаемый Dan B-Yallay! Я не понял, что это был сарказм. Ведь Вы начали с хороших частных случаев. И опять же я не понимаю, чем Вас так раздражает пример из учебника Натансона? Я хотел сказать этой подсказкой, что есть какие-то дополнительные условия, для того чтобы разность двух замкнутых множеств была открытым множеством. Поскольку пример действительно прост, то легко заметить, что две граничные точки сегмента содержатся в замкнутом множестве, содержащемся в сегменте.

Если же inf76 прав, то мы все вместе просто получили неплохой результат:
Для того чтобы разность двух замкнутых множеств была открыта, необходимо и достаточно, чтобы каждая граничная точка «уменьшаемого» замкнутого множества содержалась в «вычитаемом» замкнутом множестве.