Помогите решить примеры по мат. анализу, пожалуйста

[Stolen]

Помогите решить, пожалуйста:
1) Найти экстремумы функии $z$, заданных неявно: $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-11=0$

2) Найти оси эллипса $5x^2+8xy+5y^2=9$

3) Если в электрической цепи, имеющей сопротивление $R$, течет ток $I$, то тепловая мощность в цепи равна $I^2R$. Определить, как следует разветвить ток $I$ на токи $I_1, I_2, I_3$ при помощи трех проводов, сопротивления которых $R_1, R_2, R_3$, чтобы тепловая мощность была бы минимальной.

Найти минимум функции $f(I_1,I_2,I_3)=I_1^2R_1+I_2^2R_2+I_3^2R_3$ при условии, что $I_1+I_2+I_3=1.$

[gris]

Пока Вас не отправили в карантин, окружите каждую формулу знаками $ и напишите свои соображения по поводу решения задач.

$x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z-11=0$

$ 5x^2+8xy+5y^2=9$

Добавлено спустя 38 минут 39 секунд:

Stolen, не тегом math, а именно значками $.

В первой задаче попробуйте выделить полные квадраты и сможете без всяких производных обойтись. Во второй, собственно, тоже самое надо сделать. В третьей напишите выражение мощности через $I_1,\,I_2,\,I_3$, и напишите сумму токов в параллельном соединении.

[ewert]

Stolen писал(а):

2) Найти оси эллипса5x^2+8xy+5y^2=9

Можно немного сжульничать. Уравнение симметрично относительно перестановки $x$ и $y$. Поэтому одна ось эллипса проходит по прямой $y=x$ (и, следовательно, другая -- по прямой $y=-x$). Решите две соответствующие системы уравнений -- получите координаты двух пар вершин эллипса.

[Stolen]

Со второй справился.
Условие третьей задачи претерпело изменения.

[Алексей К.]

В третьей нужно составить функцию, которую надо минимизировать. Увидеть, что это функция всего лишь двух переменных, например $I_1,\:I_2$ (а не трёх, потому что $I_3=I-I_1-I_2$). Неплохо бы дать нам посмотреть на неё.
И только потом, вспомнив, что для нахождения миниммума как-то применяют производные, применить производные.

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

Stolen в сообщении #205338 писал(а):

Условие третьей задачи претерпело изменения.

Ну, я за Вами не поспеваю, пойду к мясорубке.

[Stolen]

Алексей К. писал(а):

Stolen в сообщении #205338 писал(а):

Условие третьей задачи претерпело изменения.

Ну, я за Вами не поспеваю, пойду к мясорубке.

Это лишь дополнение от себя. Условие как таковое не изменилось.

[gris]

Если первую в таком виде записать

$z^2-6z+9=9+11-(x^2-2x+1)+1-(y^2-4y+4)+4$

не натолкнёт на мысль?

Алексей К, а вот мясорубкой непедагогично

[Stolen]

gris писал(а):

Если первую в таком виде записать

$z^2-6z+9=9+11-(x^2-2x+1)+1-(y^2-4y+4)+4$

не натолкнёт на мысль?

$(z-3)^2=9+11-(x-1)^2+1-(y-2)^2+4$
Не вижу.

[Алексей К.]

Stolen в сообщении #205342 писал(а):

Условие как таковое не изменилось.

Два пути.
1) Сделать из ф-ции 3-х переменных + условие функцию 2-х переменных (без всяких условий) и искать минимум.
2) Если ри Вас требуется именно найти условный экстремум, то для этого существует метод множитедей Лагранжа.
Первй способ проще.

[gris]

В третьей задаче переменными будут сопротивления, наверное. Ведь если они заданы заранее, то как ветвить токи? Я думаю, что здесь подразумевается параллельное соединение трех проводов. Необходимо определить соотношение сопротивлений для оптимального ветвления токов.
Хотя из того, что ток обратно пропорционален сопротивлению, а напряжение одно и то же, достаточно найти соотношение токов.

Кстати, очень просто решается по методу Лагранжа (условному экстремуму).

А ответ надо наверное дать для отношения сопротивлений?

Добавлено спустя 2 минуты 48 секунд:

Направление верное

$(z-3)^2=25-(x-1)^2-(y-2)^2$

При каких значениях $x,\,y$ достигается максимум правой части и чему он равен?

[Алексей К.]

Stolen писал(а):

$(z-3)^2=9+11-(x-1)^2+1-(y-2)^2+4$
Не вижу.

Ну напрягитесь, увидьте сферу ${\bar z}^2+{\bar x}^2+{\bar y}^2=25\:!$ (Со смещённым центром: $\bar z=z-3$, итд)

[Stolen]

gris писал(а):

При каких значениях $x,\,y$ достигается максимум правой части и чему он равен?

$x=1, y=-2.\\ 25 - max.$

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

gris писал(а):

А ответ надо наверное дать для отношения сопротивлений?

Ответ - $I_1:I_2:I_3$=$\frac{1}{R_1}:\frac{1}{R_2}:\frac{1}{R_3}.$
Я не знаю как к нему прийти.

Добавлено спустя 6 минут 55 секунд:

gris писал(а):

Если первую в таком виде записать

$z^2-6z+9=9+11-(x^2-2x+1)+1-(y^2-4y+4)+4$

не натолкнёт на мысль?

Кстати, Вы тут немного напутали.
Скорее всего, Вы хотели написать так: $z^2-6z+9=9+11-(x^2-2x+1)+1-(y^2+4y+4)+4$

[gris]

А Вы скобочки раскройте!
Итак, максимальное значение $|z-3|$ равно 5. Когда избавимся от модуля, то получим сразу и минимальное и максимальное значение $z$.

[ewert]

Stolen писал(а):

Ответ - $I_1:I_2:I_3$=$\frac{1}{R_1}:\frac{1}{R_2}:\frac{1}{R_3}.$
Я не знаю как к нему прийти.

Это не ответ, это просто условие параллельности соединения трёх сопротивлений. А каков ответ -- сказать трудно, т.к. совершенно непонятно условие задачи. Что такое "разветвляется?... как связано исходное сопротивление с новыми?... какие ограничения на новые?...

Если имелось в виду, что сопротивление нового параллельного соединения равно старому, то ответ банален: как ни ветви, а ровно ту же мощность и получишь.

[gris]

А про токи я не понял:(
Что значит тогда разветвить? От одной точки они просто сами по себе пойдут в трёх направлениях?
Ну тогда пусть первый ток $x$, второй $y$, третий $I-x-y$. Раз Алексей К. сказал, что с Лагранжем сложнее, будем без него.

Итак, надо при $x,y\in(0,I)$ найти минимум функции

$Q=R_1x^2+R_2y^2+R_3(I-x-y)^2$