нахождение пересечения трех гиперплоскостей.очень срочно!

[yakudza666]

Пойду сегодня разбираться со своим научруком из-за нетривиальности задачки пока подожду,может все-таки кого-нибудь осенит

[gris]

Давайте рассмотрим случай $n=2$

Предположим, я задал прямоугольник $2\leqslant x \leqslant 6; 4\leqslant y \leqslant 7$.
У него четыре стороны
$2\leqslant x \leqslant 6; \quad y=4$,
$2\leqslant x \leqslant 6; \quad y=6$,
$x=2; \quad 4\leqslant y \leqslant 7$,
$x=6; \quad 4\leqslant y \leqslant 7$

Заданы две прямых
$a_1x+b_1y+c_1=0$
$a_2x+b_2y+c_2=0$

В чём состоит задача?
А в многомерном случае укажите размерность гиперплоскостей и размерность граней.

Добавлено спустя 5 минут 11 секунд:

Я думаю, что $n-1$. но лучше это уточнить в условии.

[yakudza666]

это я еще уточню,но по логике n-1 размерность граней,ибо n-мерный параллелепипед

[gris]

Ну это скорее всего так и есть. Тогда грани параллелепидеда будут определяться системой неравенств для самого параллелепипеда, в которой одно из равенств заменено на равенство (одно из двух).
Кстати, уравнение гиперплоскости, содержащей эту грань и будет определяться этим равенством. Может быть попробуете написать условия для граней? Сколько всего граней получается?
А потом уточните про гиперплоскости. Если гиперплоскости размерности $n-1$ не параллельны, то что представляет собой их пересечение?

[yakudza666]

спасибо,попробую сегодня все уточнить

[yakudza666]

так,для начала нужно найти количество граней n-мерного параллелепипеда, с которыми будет пересекаться гитперплоскость,образованная путем пересечения 2-х данных гиперплоскостейю Есть мысль ,что это n-3.

[gris]

Так. Не спешите. У нас есть две непараллельные гиперплоскости размерности $n-1$. Для начала скажите, какова размерность их пересечения?
Две прямые пересекаются в точке, две плоскости по прямой. Две гиперплоскости по гиперплоскости размерности на единицу меньшей. Да и вообще, при чём здесь гиперплоскости? Кстати, они могут быть параллельны?

Я Вам предлагаю ещё раз внятно сформулировать задачу. И ещё - скажите всё же, сколько у $n$-мерного параллелепипеда $(n-1)$-мерных граней?

[yakudza666]

Гиперплоскости могут быть параллельными.но тогда задача автоматически не имеет решения,так что рассматриваем случай,что они пересекаются. И гиперплоскость,образованная их пересечением,пересекает n-мерный параллелепипед. Необходимо узнать сколько граней она может пересечь. (количесвто граней не указано,но разве в n-мерном параллелепипеде их не 2n?)

[gris]

Ну вот, задача проясняется. Оказывается, не нужно никаких уравнений искать

Просто спрашивается, сколько $n-1$-мерных граней $n$-мерного параллелепипеда может пересечь $n-2$-мерная гиперплоскость.

В случае $n-3$: сколько граней параллелепипеда может пересечь прямая? Ответ: во внутренних точках две, а если считать вершины, то 3.

Может быть я перепутал чего? Или нужно уравнение? Тогда придётся считать системы линейных уравнений. В многомерных случаях пересечение может происходить по гиперотрезку.

Кстати, в исходной постановке гиперплоскости вполне могут быть параллельными и пересекать одну и ту же грань.
Я же Вам говорю: задача плохо поставлена. Поработайте сначала над её формулировкой, а потом уже принимайтесь за решение.

[yakudza666]

нет, вы ничего не перепутали. для 3-хмерного пространства все так. А в многомерном случае гипотетически этот гиперотрезок сколько граней может персечь?нахождение простым перебором или как? Уравнения составлять нужно,но это позже,пока надо здесь понять,эту подзадачу.

[gris]

Я ошибся с 3-мерным параллелепипедом. Его диагональ пересекает все шесть граней.

Добавлено спустя 11 минут 30 секунд:

Кстати есть одна довольно тонкая задача по планиметрии - доказать, что прямая пересекающая сторону во внутренней точке, пересекает и его вторую сторону. Ну это так, к слову. У нас всё-таки параллелепипед, все грани которого попарно или параллельны или перпендикулярны. Причем перпендикулярные пересекаются по $(n-2)$-мерному гиперотрезку

Я думаю, от систем линейных уравнений не уйти. но можно попробовать и геометрическое решение.
Вообще сведём задачу к гиперкубу с координатами из нулей и единиц. Так вот прямая, проходящая через точки $(0;0;0....0)$ и $(1;1;1....1)$, а также любая гиперплоскость, содержащая эту прямую, пересекает все грани куба.

Так что вопрос количеством точек пересечения снимаем - от 0 до $2n$

[yakudza666]

да,от систем линейных уравнений не уйти,но для того,чтобы составить эту систему,надо как раз и узнать,сколько граней может пересечь. Видимо, действительно от 0 до 2n. Попробую теперь обдумать этот момент с научным руководителем. Спасибо вам большое.