Вероятность возникновения тупоугольного треугольника

[Alex1976]

Всем доброго времени суток.

Кто-нибудь может объяснить парадокс:

Пусть х и y независимы и равномерно распределены на [0,1].
Тогда вероятность того, что из отрезков [0,min(x,y)], [min(x,y), max(x,y)], [max(х,y),1] можно построить треугольник равна 0,25.

А теперь посчитаем вероятность того, что треугольник тупоугольный (при условии, что его можно построить).

Получается P1 чуть больше 2/3 (считается явно, например, интегрированием гиперболы).

Теперь сделаем так. Зафиксируем на плоскости две точки, а третья точка распределена равномерно в той области, что в получающемся треугольнике фиксированная сторона максимальна.

Посчитаем P2 - вероятность того, что треугольник тупоугольный. Получается чуть меньше 2/3 (элементарно считается геометрически).

Ошибка в расчетах исключена ввиду простоты задачи - желающие могут проверить.

Вопрос в том, почему P2 != P1?! Это ведь одна и та же вероятность того, что три точки общего положения, равномерно распределенные на ограниченной области в R2 образуют тупоугольный треугольник? Разная только нормировка - в одном случае сумма сторон равна 1, в другом - одна сторона фиксирована и максимальна. [/b]

[maxal]

Alex1976 в сообщении #204607 писал(а):

Это ведь одна и та же вероятность того, что три точки общего положения, равномерно распределенные на ограниченной области в R2 образуют тупоугольный треугольник?

Нет. Каждый из предложенных способов требует доказательства, что вершины построенного треугольника действительно равномерно распределены в рассматриваемой области (кстати, какой?).

Вот пример попроще: дана окружность и нам нужно построить равномерно распределенную случайную хорду. Напрашиваются два способа:
1) выбрать две случайные точки, равномерно распределенные на окружности, и соединить их хордой;
2) выбрать равномерно точку из круга, очерчиваемого данной окружностью, и считать ее серединой нашей случайной хорды (за исключением множества меры ноль, для каждой точки круга такая хорда определяется однозначно).
Нетрудно проверить, что хотя оба способа дают интуитивно "равномерно распределенную" случайную хорду - эти распределения являются различными.

[Alex1976]

Распределения, конечно, разные. И, конечно, доказательство того, что разные распределения дадут одну вероятность, необходимо. (их равномерность очевидна, но в разных вероятностных пространствах)

Вопрос не в этом.

В обоих случаях перебираются все (с точностью до подобия) треугольники, причем каждый - равновероятен.
Разная только нормировка.

Подобие не влиятет на тупоугольность, даже распределение коэфициента подобия не влияет на результат.

Так что интересует не доказательство того факта, что вероятности равны (это не так), а доказательство (или, хотя бы, правдоподобное объяснение) того, почему они не равны.

P.S. Области.

Случай 1. Равносторонний треугольник с высотой 1, внутри него треугольник из средних линий. Любая точка малого треугольника имеет сумму расстояний до сторон большого треугольника, равную 1 и эти расстояния удовл. неравенству треугольника.

Тупоугольные треугольники - все, лежащие вне равностороннего вогнутого треугольника из гипербол (на гиперболах получаются прямоугольные треугольники), с вершинами в вершинах малого треугольника.


Случай 2. Полукруг на двух фикс. точках - область тупоугольности. Пересечение полуплоскости (в которой лежит полукруг) и двух кругов с центрами в фикс. точках и радиусом равным расстоянию между фикс. точками - множество, где равномерно распределена третья вершина.

P.P.S. Я не свихнлся на почве элементарной математики - задача возникла в при решении серьезной теоретико-числовой проблемы, как ни странно. Просто ни я, ни коллеги не понимаем природы полученного вероятностного эффекта.

[gris]

Alex1976, насчёт треугольников возникла такая идея. Поскольку линейные размеры для нас не существены, опишем треугольник двумя углами $A$ и $B$.
Рассмотрим квадрат $(0;180)\times(0;180)$ в системе координат $AOB$. Каждая точка квадрата под отрезком $A+B=180$ (диагональю), будет соответствовать одному треугольнику.
Тупоугольные треугольники будут соответствовать неравенствам $A>90,\quad B>90, \quad A+B<90$. Области, определяемые неравенствами, будут занимать

$$\frac34$$

площади треугольника.

К исходной задаче отношения, наверное, не имеет. Поскольку там не все углы равновероятны.

[Dandan]

У вас элементарное событие имеет вероятность 0. Чтобы считать вероятности сложных событий, состоящих из бесконечного кол-ва элементарных, нужно пользоваться заранее определенной мерой. Если у вас в обоих случаях пространства событий и одинаковые (ну или выражаются через друг друга), то значит вы пользуетесь разными мерами.
И я б это не относил к элементарной математике. Всё-таки теорию меры нужно знать (хотя бы основы), чтобы понимать всё строго.

[PAV]

Давайте разберемся. Сначала рассмотрим второй способ построения, при котором точка бросается в область. Без ограничения общности будем считать, что две исходные точки расположены на координатной плоскости как $(0,0)$ и $(0,1)$. Тогда получается, что третью точку предлагается бросать в область, равную пересечению кругов с центрами в этих двух точках и имеющих радиус 1.

Будем считать "одинаковыми" треугольники, имеющие одинаковые стороны (без учета порядка). Тогда получается, что каждый такой треугольник будет "посчитан" четырежды, потому что его можно отразить относительно прямой $y=0$ и относительно прямой $x=\frac12$. Есть еще вырожденные случаи, когда третья точка попадает строго на эти оси и тогда указанная симметрия дает тот же самый треугольник, а также случаи треугольников с двумя или тремя наибольшими сторонами, но они имеют нулевую вероятность и влияния на ответ не оказывают.

Если же считать этот же треугольник первым способом (естественно, применив преобразование подобия так, чтобы сумма длин сторон стала равна 1), то тогда он будет посчитан шесть раз - столько способов уложить упорядоченно данные длины сторон на единичный отрезок.

Проверьте, сойдутся ли ответы, если учесть эти соображения.

[Dandan]

PAV, в первом случае каждый остроугольный и каждый тупоугольный треугольник будут "посчитаны" четырежды, а во втором каждый остроугольный и каждый тупоугольный будут "посчитаны" шесть раз. Как это влияет на отношение?

[PAV]

На самом деле надо бы еще обосновать, верно ли, что в обоих случаях речь идет о "равновесном" пересчете треугольников. Что-то мне это не очень очевидно. Попробуйте сделать так. В первом способе зафиксируйте одну из точек и попробуйте взять небольшой интервал изменения другой точки. Опишите все полученные треугольники и изобразите их вторым способом. Затем сделайте то же самое, если этот интервал сдвинуть. Будет ли кривая иметь ту же длину?

Можно аналогичным образом поиграть сразу с двумя точками, тогда будет ненулевая вероятность и нормальная область с площадью, хотя это технически посложнее. Можно провести численный эксперимент. Все-таки есть у меня подозрение, что равномерности тут не будет.

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

Dandan писал(а):

PAV, в первом случае каждый остроугольный и каждый тупоугольный треугольник будут "посчитаны" четырежды, а во втором каждый остроугольный и каждый тупоугольный будут "посчитаны" шесть раз. Как это влияет на отношение?

Да, это правильное замечание. Ну тогда надо проверить равномерность, как я написал выше.

Добавлено спустя 17 минут 50 секунд:

На самом деле все довольно понятно. Переход от треугольника в первом представлении (имеющего сумму сторон 1) к треугольнику во втором представлении (имеющему максимальную сторону равную 1) происходит с коэффициентом, зависящем от этой максимальной стороны. Поэтому если мы возьмем "окрестность треугольника" заданного размера, то при таком преобразовании ее размер будет меняться. Поэтому даже если в одном представлении мы имеем равномерное распределение, то в другом представлении оно уже будет неравномерным.

Для окончательно строгого рассуждения нужно аккуратно выписать формулы перехода от одного представления к другому (там будет необходимость выбирать максимум, но это исправляется разбиением области на несколько), после чего должно быть видно, что в формуле замены переменных в интеграле Лебега появляется множитель, приводящий к неравномерности.

[Лукомор]

Посчитал вероятность для второго случая - получил $P=5/8$
Это конечно меньше $2/3$, но довольно таки намного... Сколько должно получиться??

[Alex1976]

Лукомор писал(а):

Посчитал вероятность для второго случая - получил $P=5/8$
Это конечно меньше $2/3$, но довольно таки намного... Сколько должно получиться??

Почти угадали, примерно 0,64 ( 0.5*pi/(1,(3)*pi - sqrt(3)).

Только вопрос не в том, чтобы посчитать, а в объяснении, почему одно число меньше другого.

Как вариант - какой способ "больше похож" на "случайный треугольник на плоскости".

Объяснения, предложенные участниками форума, пока не убедили.

UPD. Первая вероятность примерно 0,667. Вообще, всем было очевидно (из "большой задачи", породившей эту чепуху), что ответ - 2/3. Для очистки совести дали проверить аспиранту - получили 0,667. Не поверили, посчитали сами - и выяснили, что коллектив разделился почти 50:50 по способу решения.

[PAV]

Alex1976 в сообщении #204835 писал(а):

Объяснения, предложенные участниками форума, пока не убедили.

Я же написал точный способ - напишите явные формулы перехода от одной системы к другой и примените формулу замены переменных в интеграле Лебега.

[ewert]

честно говоря, не вчитывался за леностью, но всё равно недоумеваю: причём тут конкретно Лебег-то?...

[PAV]

ewert в сообщении #204865 писал(а):

причём тут конкретно Лебег-то?...

При том что вероятность определяется как интеграл Лебега.

[Alex1976]

PAV писал(а):

Alex1976 в сообщении #204835 писал(а):

Объяснения, предложенные участниками форума, пока не убедили.

Я же написал точный способ - напишите явные формулы перехода от одной системы к другой и примените формулу замены переменных в интеграле Лебега.

Ваш способ ясен, однако хотелось услышать, не как это сделать, а почему это так.

А Ваш совет, это, грубо говоря, тоже самое, что в ответ на вопрос: "как классифицировать кривые 2-го порядка" предложить алгебраически выделить полные квадраты и убедиться, вместо того, чтобы рассказать про собств. вектора и инварианты.

[PAV]

Хорошо, а можете Вы объяснить для начала, "почему" если $X$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0,1]$, то распределение $X^2$ на том же отрезке будет уже не равномерным?