Ростки относительно фильтра

[Виктор Викторов]

У Бурбаки в книге «Общая топология» (основные структуры) Москва 1968 есть на странице 89 вводится понятие «Ростки относительно фильтра». Видел ли кто-нибудь хотя бы ещё одну книгу с этим понятием (возможные языки русский, английский и французский)? Если видели, пришлите ссылку. Если понимаете что это такое, то растолкуйте с чем эти ростки едят.

[Виктор Викторов]

Никто не откликнулся. Придётся задать конкретный вопрос.

Вопрос по БУРБАКИ Общая топология Основные Структуры Москва 1968. Стр. 89

«9. Ростки относительно фильтра.

Пусть F — фильтр в множестве X. В множестве B(X) всевозможных подмножеств множества X отношение R между M и N:

«существует такое $V\in\mathbb F$, что M∩V=N∩V»

Есть отношение эквивалентности; в самом деле, очевидно, оно рефлексивно и симметрично, а если M, N, P — такие подмножества множества X, что M∩V=N∩V и N∩W= P∩W для некоторых множеств V, W из F, то M∩(V∩W) =N∩(V∩W) = P∩(V∩W), чем транзитивность R и доказана, поскольку V∩$W\in\mathbb F$. Класс mod R множества $MsubsetX$ называется ростком этого множества относительно фильтра F, ...»

Обсуждение и вопросы.

1. Вырожденные случаи.
Все множества фильтра росток по любому из множеств этого фильтра относительно него.
Если существует множество принадлежащее фильтру непересекающееся с множествами M и N, то M и N эквивалентны (включая случай непересекающиеся M и N).

2. Для выполнения равенства M∩V=N∩V нужно (если это не первый случай и M и N не элементы фильтра) и, чтобы пересечение M и N было непусто, и чтобы существовал такой элемент V фильтра, который имеет общие точки как с M, так и с N, но только в их пересечении и непустое подмножество M∩N∩V не было элементом фильтра. ПРАВИЛЬНО ЛИ ЭТО? И ТО ЛИ ЭТО РАДИ ЧЕГО СТРАДАЛИ?
И ещё один вопрос возможен вариант когда, M∩V=N∩V≠Ø и N∩W= P∩W≠Ø, но M∩(V∩W) =N∩(V∩W) = P∩(V∩W)= Ø.
Правильно ли я понял?

Грубо говоря, зачем нам это понятие? Что-то типа (в случае два) базиса нового фильтра на периферии?

[Лиля]

Виктор Викторов в сообщении #204572 писал(а):

1. Вырожденные случаи.
Все множества фильтра росток по любому из множеств этого фильтра относительно него.
Если существует множество принадлежащее фильтру непересекающееся с множествами M и N, то M и N эквивалентны (включая случай непересекающиеся M и N).

По выше описанному определению -это утверждение не верно -вернее было бы: -если не существует множества принадлежащего фильтру пересекающегося с множествами M и N, то M и N эквивалентны.

Виктор Викторов в сообщении #204572 писал(а):

И ещё один вопрос возможен вариант когда, M∩V=N∩V≠Ø и N∩W= P∩W≠Ø, но M∩(V∩W) =N∩(V∩W) = P∩(V∩W)= Ø.
Правильно ли я понял?

правильно, возможен

[Виктор Викторов]

Лиля! Почему? Для всех множеств принадлежащих фильтру каждое из них может играть роль множества V.

Если существует множество V принадлежащее фильтру непересекающееся с множествами M и N (M и N не принадлежат фильтру), то M∩V=N∩V может быть пусто, но условие выполнено.

[Лиля]

Виктор Викторов в сообщении #204603 писал(а):

Если существует множество V принадлежащее фильтру непересекающееся с множествами M и N (M и N не принадлежат фильтру), то M∩V=N∩V может быть пусто, но условие выполнено.

хотя, да, Вы правы

[Виктор Викторов]

Мне от этого не легче. У Бурбаки в третьем томе их топологии есть хорошая сводка результатов. Так вот: в этой сводке история про ростки пропущена.

[lofar]

Фильтры придумал Анри Картан (Henri Cartan), можно посмотреть его работы.

Из ваших вопросов, мне видится, можно сделать вывод, что вы не вполне поняли основную суть фильтров. Фильтры появились при обобщении понятия предела. Свойство последовательности стремиться (не стремиться) к какому-нибудь числу не зависит от любого количества первых членов последовательности. Точно также стремление вещественной функции $f(x)$ к некоему пределу при $x\to a$ определяется поведением $f(x)$ в сколь угодно малой окрестности $a$. Таким образом, если интересоваться исключительно вопросом сходимости, то последовательности совпадающие с какого-то номера (функции равные в некоторой окрестности $a$) можно отождествить --- их различие не существенно --- важно локальное поведение.

Понятие фильтра обобщает это наблюдение: множества $M$ и $N$ эквивалентны относительно фильтра если они совпадают в достаточно "малом" элементе фильтра: $M\cap V=N\cap V$. В частности, если $M\cap V=N\cap V=\varnothing$, то $M$ и $N$ эквивалентны, это естественно --- данные множества "локально одинаковы" (пусты).

[Виктор Викторов]

Уважаемый lofar!

Спасибо. Плохо ли, хорошо ли, но теорию фильтров я знаю. Люблю сходимость по фильтру. И тот факт, что совокупность всех окрестностей точки в топологии фильтр, греет мне душу. Но Вы первый кто хоть что-то сказал по поводу ростков фильтра. Если бы Вы ещё добавили где про это (ростки) можно прочитать (кроме Бурбаки), то глядишь дело поехало бы дальше.

По поводу сходимости: если M и N элементы фильтра, то им не нужен росток, так как любое конечное пересечение элементов фильтра непусто, а если фильтр сходится, то предел по фильтру и будет в пересечении (и конечном и бесконечном). Скорее смотрится, что интерес к ростку где-то сбоку. Сходимости там нет. Если я неправ, то рад буду понять это.

[lofar]

Не понял вашего вопроса. Пожалуйста, сформулируйте конкретное утверждение. Тогда будет возможно ответить верно оно или нет.

[Виктор Викторов]

Мой основной вопрос формулируется очень просто: известна ли Вам литература по росткам фильтра (кроме Бурбаки)?

Второй вопрос в связи с Вашим комментарием о сходимости. Вся история со сходимостью разыгрывается в фильтре окрестностей точки (точек), который мажорируется тем фильтром, который сходится. По определению ростка фильтра сам фильтр является одним из своих ростков. Но явно не для этого это понятие было введено. Зачем разбираться с ростком фильтра, когда можно рассматривать сам фильтр. А остальные ростки не включают в себя точку сходимости. Так при чём здесь сходимость? И ещё раз, зачем нам понятие ростка фильтра (не фильтра (здесь всё ясно), а именно ростка фильтра)?

[lofar]

Фильтры, ростки фильтров --- изобретение Бурбаки. Поэтому все другие источники по этой теме будут вторичны. Есть достаточно много учебников Анализа в которых вводится понятия предела по базису фильтра (учебник Камынина, например), возможно авторы некоторых пособий идут дальше и определяют фильтры и пр. сопутствующие вещи. Так или иначе больше чем у Бурбаки по этой теме нигде не написано.

Бурбаки в своем стремлении к наибольшей общности придумал много специфичных, технических вещей. Возьмите том по теории множеств --- в первом же параграфе он вводит свои особые обозначения, которых нигде больше не встретишь. Можно вспомнить $\rm Homgr$ из их гомологической алгебры. Ростки множеств по фильтру из той же серии.

По второму вопросу. Да, фильтр сам является ростком относительно себя (ростком объемлющего множества $X$). Этот росток содержит предел фильтра (если он есть), вместе с тем, могут встречаться другие ростки содержащие предельную точку фильтра.

Интерес в первую очередь представляют ростки функций относительно фильтра, именно ими Бурбаки в основном и занимается. Ростки подмножеств, на мой взгляд, были введены для полноты картины (еще одна слабость Бурбаки). Ясно, что ростки функций --- вещь более общая, так как всякий росток множества можно эквивалентно описать как росток его характеристической функции.

[Виктор Викторов]

Уважаемый lofar!

Огромное спасибо. Вот где точка моего незнания и соответственно преткновения «ростки функций». Вставил это сочетание в Google: вывалилась куча информации. Ещё раз спасибо.

[maria700]

Кто знает как это решается?Используя индукционные аксиомы второго порядка, опишите свойства следующего множества. Множество всех состояний инициального детерменированногоавтомата, находящихся в отношении эквивалентности R

[Профессор Снэйп]

Виктор Викторов в сообщении #204572 писал(а):

«9. Ростки относительно фильтра.

Пусть F — фильтр в множестве X. В множестве B(X) всевозможных подмножеств множества X отношение R между M и N:

«существует такое $V\in\mathbb F$, что M∩V=N∩V»

Есть отношение эквивалентности; в самом деле, очевидно, оно рефлексивно и симметрично, а если M, N, P — такие подмножества множества X, что M∩V=N∩V и N∩W= P∩W для некоторых множеств V, W из F, то M∩(V∩W) =N∩(V∩W) = P∩(V∩W), чем транзитивность R и доказана, поскольку V∩$W\in\mathbb F$. Класс mod R множества $MsubsetX$ называется ростком этого множества относительно фильтра F, ...»

Обычная фактор-алгебра по фильтру. Термин "росток" вижу первый раз, но само понятие далеко не новое.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #391206 писал(а):

Munin в сообщении #391111 писал(а):

paha в сообщении #391023 писал(а):

росток мысли, ткскзть

Вот неоднократно напарываюсь на этот термин, а где про ростки прочитать что-нибудь хоть сколько-нибудь вводное, и вообще из какой области математики это штука?

Есть две подглавки в Бурбаки "Общая топология. Основные структуры" Издательство "Наука" Москва 1968. "Ростки относительно фильтров" страница 89 и "Ростки в точке" страница 92. Я в них ничего не понимаю, если есть понимающие (или желающие разобраться) буду рад послушать.

paha в сообщении #391217 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #391206 писал(а):

"Ростки в точке" страница 92

примерно так

рассмотрм точку $0\in\mathbb{R}$
и такое отношение эквивалентности на функциях: $f\sim g$, если $\exists \varepsilon >0$ такой, что $f$ и $g$ совпадают на $(-\varepsilon,\varepsilon)$

соответствующие классы эквивалентности называются ростками функций в нуле (относительно фильтра открытых окрестностей)
ясно, что разные функции (у бурбаки даже непрерывность не требуется) могут иметь один и тот же росток в данной точке

однако, например, разные аналитические функции не могут иметь одинаковые ростки ни в какой точке
т.е. "росток" в данном случае некоторая формализация фразы "аналитическая функция задается произвольно малой окрестностью"
и термин этим объясняется: из ростка с помощью аналитического продолжения распускается голоморфная ветвь(до первого милиционеполюса:))


Если вместо фильтра открытых множеств взять фильтр всех множеств (содержащих данную точку), то две функции имеют один росток если их значения в этой точке совпадают

для разных нужд разные ростки:)

-- Сб дек 25, 2010 02:16:55 --

а... для гладких функций принадлежность к одному ростку (фильтр открытых множеств) означает равенство всех производных... тоже формализация фразы "производная функции зависит только от ее поведения в произвольно малой окрестности данной точки"
с этой точки зрения мы дифференцируем не функции, а их ростки:)))

Munin в сообщении #391277 писал(а):

paha в сообщении #391217 писал(а):

однако, например, разные аналитические функции не могут иметь одинаковые ростки ни в какой точке
т.е. "росток" в данном случае некоторая формализация фразы "аналитическая функция задается произвольно малой окрестностью"
и термин этим объясняется: из ростка с помощью аналитического продолжения распускается голоморфная ветвь(до первого полюса:))

Однако, буквально по этому определению, существуют ростки, не соответствующие никакой аналитической функции, и каждому ростку кроме аналитической функции соответствует много всякого другого. Так что инструмент получается более мощным, чем то, для чего он задуман. Так?

paha в сообщении #391217 писал(а):

Если вместо фильтра открытых множеств взять фильтр всех множеств (содержащих данную точку), то две функции имеют один росток если их значения в этой точке совпадают

Ну это скучновато.

paha в сообщении #391217 писал(а):

с этой точки зрения мы дифференцируем не функции, а их ростки:)))

Понятно, а какой выигрыш от такой смены точки зрения?

Бредона и Кашивару я пробовал читать, но они мне пока не по зубам, я в базовых вещах плаваю: когомологиях и категорном языке.

paha!
То, что Вы написали я более или менее понял. Спасибо. Не могли бы Вы помочь с первым текстом -- "Ростки относительно фильтров" страница 89? Мои вопросы в первом и втором комментарии.