Интегрирование/дифференцирование кусочных функций

[Uxmal]

Мелкомасштабное описание береговой линии $F^{(1)}(x)$ на отрезке $[a,b]$ состоит из последовательности кусочных функций вида $\alpha_i^{(1)} \sin {\frac \pi 2 \frac x {\beta_i^{(1)}},x \in [0,\beta_i^{(1)}], \beta_i^{(1)} = x_i - x_{i-1}, a=x_0<x_1<...<x_{N^{(1)}$=b $. Таким же образом задано более крупномасштабное описание $F^{(2)}$ со своими $\alpha_i^{(2)}, \beta_i^{(2)}, i=1,N^{(2)}$. Рассмотрим функцию $F_{av}^{(2)}(x)=\frac 1 p \int_{x-\frac p 2}^{x+\frac p 2} F^{(1)}(t)dt$, где $p$ - ширина окна усреднения.
Задача 1. По заданным $\alpha_i^{(1)},\beta_i^{(1)},\alpha_i^{(2)},\beta_i^{(2)}$ найти такое $p$, чтобы $I=\frac 1 {b-a} \int_a^b (F^{(2)}-F_{av}^{(2)})^2$ было минимальным. Как вычислить $\frac {dI} {dp}$, ведь при изменении $p$ во внутреннем и $x$ во внешнем интегралах в $F^{(1)} , F^{(2)}$ попадают все новые звенья?
Задача 2. По заданным $\alpha_i^{(1)}, \beta_i^{(1)}, p $ найти такие $\alpha_i^{(2)}, \beta_i^{(2)}$, чтобы $I$ было минимальным. Проблема та же.

Есть какая-нибудь литература? Ведь делают же как-то карты и логично, что более крупномасштабное описание получают усреднением из более мелкомасштабного.

[Полосин]

Разложите функции $F^{(1)}$ и $F^{(2)}$ в ряды Фурье на отрезке $[a,b]$. Проинтегрировав почленно первый ряд, получите ряд Фурье для функции $F^{(2)}_{av}$ (она называется функцией Стеклова). Тогда $I=I(p)$ будет представлен в виде сходящегося ряда, коэффициенты которого зависят от $p$.

[Uxmal]

Спасибо, но уже для 3-4-х звеньев получаются очень громоздкие выражения.
1. А как быть с Задачей 2? Там изначально количество звеньев для $F^{(2)}$ неизвестно.
2. В реальности, чтобы найти $p$, нужно ограничиться каким-то конечным числом членов ряда. Как удостовериться, что процесс будет устойчивым, т.е. $p_{n_1},...,p_{n_k}$ сходится к какому-то $p^*$?
3. Посоветуйте, плиз,какую-нибудь содержательную литературу по сглаживанию функций и функциям Стеклова, в Гугле выдает только стандарное ее определение из Википедии, на которое куча ссылок из его биографии.