Перестановка дифференцирования и интегрирования

[Asmo89]

Здравствуйте!
Вот моя задачка:
$E(t)=\frac 1 2$ \int_{0}^{\l} \{ k(x)(v_x^'$(t,x))^2+(v_t^'$(t,x))^2 +q(x)v^2$(t,x)\}$dx
где $v \in C_2\left[ 0,l \right], а функция $q непрерывна на отрезке \left[ 0,l \right]

Нужно доказать что производную функции$E(t) по параметру $t можно вычислить под знаком интеграла.

[Brukvalub]

А про ф-цию k(x) что-либо известно?

[Полосин]

Если $v \in C^2([0,l] X [0,l]), q,k \in C[0,l]$, то достаточно просто воспользоваться теоремой о дифференцировании интеграла по параметру.

[Brukvalub]

Полосин в сообщении #203770 писал(а):

достаточно просто воспользоваться теоремой о дифференцировании интеграла по параметру.

В условии этой теоремы требуется, чтобы подынтегральная и ее производная по параметру были непрерывны в области интегрирования, а это требование может нарушаться, если функция k(x) разрывна.

[ewert]

Формально -- да, требуется, но фактически-то эти дополнительные множители зависят только от икса, но вовсе не от тэ. И при чём тут их непрерывность по икс? Просто при малых приращениях тэ относительное приращение интеграла будет равномерно мало отличаться от интеграла от производной.

[Полосин]

Если $k\in L(0,l)$, то $\left|\int_0^lk(x)\left(\frac{w(t+\Delta t,x)-w(t,x)}{\Delta t}-w'_t\right)dx\right|\le\varepsilon\int_0^l|k(x)|dx\le M\varepsilon$ в силу равномерной непрерывности производной.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #203782 писал(а):

Формально -- да, требуется, но фактически-то эти дополнительные множители зависят только от икса, но вовсе не от тэ. И при чём тут их непрерывность по икс? Просто при малых приращениях тэ относительное приращение интеграла будет равномерно мало отличаться от интеграла от производной.

Была ссылка на теорему, я указал, что условие этой теоремы в данном случае может не выполняться.
А уж что там нужно изменить, чтобы решить задачу без этой теоремы - Вам виднее.

[ewert]

Это -- как раз тот самый (довольно часто встречающийся) случай, когда доказательство теоремы гораздо важнее её формулировки.