Положение точки z на комплексной плоскости

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

такая, что точка $z=x+iy$ принадлежит $y$

Выразитесь яснее. точка $z=x+iy$ принадлежит оси ординат?
Текст, видимо, самопальный, не из задачника...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

e7e5 писал(а):

такая, что точка $z=x+iy$ принадлежит $y$

Выразитесь яснее. точка $z=x+iy$ принадлежит оси ординат?
Текст, видимо, самопальный, не из задачника...

По аналогии 2-х задач из классического задачника, когда точка $z=x+iy$ принадлежала то мнимой оси, то прямой $y=1$ решил рассмотреть более общий вариант - некую произвольную функцию или кривую на плоскости
такую, что точка $z=x+iy$ принадлежит $y=f(x)$ или некоторой заданной кривой.

Графически это выгляидит так: что $z$ можно сопоставить вектор с началом в т $O$ и концом в точке $z$. Получается, ( снова по аналогии с задачником Кудрявцева) в общем случае конец этого вектора принадлежит $f(x)$. Вот теперь нужно понять, на какой кривой находится $z^2$?

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

... точка $z=x+iy$ принадлежит (графику --- АК) $y=f(x)$ или некоторой заданной кривой

Так фраза понятна. А с просто $y$ было реально непонятно.

[gris]

e7e5, рассмотрите обобщение в другую сторону.
Функция

$$f(z)$$

будет некоторым преобразованием комплексной плоскости.
Есть интересные задачи на конформные отображения. Типа отобразить полуплоскость в круг и тому подобное.
Когда подробно разбираешь рисунки отображения для разных функций, то лучше понимаешь, как они устроены, эти функции.

[Алексей К.]

Если $z$ лежит на кривой $x(t)=t,\;y(t)=f(t)$, то $z^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy$ лежит на кривой $x(t)=t^2-f(t)^2,\;y(t)=2tf(t)$. При нудже исключаем $t$, получаем неявное уравнение в виде $F(x,y)=0$.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Если $z$ лежит на кривой $x(t)=t,\;y(t)=f(t)$, то $z^2=x^2-y^2+2\mathrm{i}xy$ лежит на кривой $x(t)=t^2-f(t)^2,\;y(t)=2tf(t)$. При нудже исключаем $t$, получаем неявное уравнение в виде $F(x,y)=0$.

А почему именно $x(t)=t$? Потому что $x(t)$ принимает последовательно все возможные значения?

А Вот возьмем например циклоиду
$x=t- Sint$,
$y=1- Cost$

и где т. $z^2^$ будет лежать? - на кривой $X=t^2-2tSint-2Cost$,
$Y=2(t- Sint)(1- Cost)$? Так и не представишь кривую, да и исключить $t$ не удается...

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #203549 писал(а):

А почему именно $X(t)=t$?

А потому, что

e7e5 раньше примерно следующее писал(а):

... что точка $z=x+iy$ принадлежит
(1) (графику) $y=f(x)$ или
(2) некоторой заданной кривой.

Для случая (2) берём параметризованную кривую $x(t),y(t)$. Случай (1) включаем как частный случай (2), положив (тавтологично) $x=t$, т.е. $x(t)=t,y(t)=f(x(t))=f(t)$. Для единообразия. К тому же, не исключено, что параметр сгодится в далбнейших делах.

Добавлено спустя 13 минут 52 секунды:

e7e5 в сообщении #203549 писал(а):

Так и не представишь кривую, да и исключить $t$ не удается...

Неленивый легко нарисует и представит. Исключить $t$ можно, выйдя за рамки элементарных функций. Из выражения $X=t^2-2t\sin t-2\cost$ получим $t=\pm{\cal E}_7^5(X)$, подставим в $Y(t)$, и всё.

Пишите, однако, так:

$\sin t$, $\cos t$

[RIP]

Представить себе кривую $x=x(t)$, $y=y(t)$ очень даже можно (по крайней мере, если функции $x(t)$ и $y(t)$ "достаточно хорошие"). Помню, в первом семестре на семинарах по мат. анализу мы подобными вещами развлекались. Если совсем грубо, то можно просто следить за монотонностью $x(t)$ и $y(t)$, когда $t$ меняется. Так, правда, уследить за характером выпуклости/впуклости трудновато, но тут можно воспользоваться дифференциальным исчислением (если функции гладкие). Например, если $x'(t_0)\ne0$, то локально $t$ можно выразить через $x(t)$, поэтому вблизи точки $(x(t_0),y(t_0))$ (точнее, в окрестности "момента времени" $t_0$) наша кривая ведёт себя, как график некоторой функции $y=f(x)$. Конечно, явно эту $f(x)$ зачастую фиг посчитаешь, но это и не нужно. В принципе нам достаточно знать знак второй производной этой функции, а эта производная легко выражаются через параметр $t$.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Исключить $t$ можно, выйдя за рамки элементарных функций. Из выражения $X=t^2-2t\sint-2\cost$ получим $t=\pm{\cal E}_7^5(X)$, подставим в $Y(t)$, и всё.

Пожалуйста, подскажите, а откуда это выражение взято?
$X=t^2-2t\sint-2\cost$

И что это за неэлементарная функция: $t=\pm{\cal E}_7^5(X)$

[Алексей К.]

e7e5 писал(а):

Пожалуйста, подскажите, а откуда это выражение взято?
$X=t^2-2t\sint-2\cost$

А там опечатка: вместо $\verb напечаталось $\verb (без пробела), и пропало, как нераспознанная команда.

А приведённая функция --- обратная к указанной $X(t)=t^2-2t\sin t-2\cost$. Поскольку таковая никем не определялась, я чисто придумал ей обозначение (см. тему Появление неэлементарных функций). Почему я взял для неё буковку Е и индексы 7 и 5 --- угадайтесь сами.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

А приведённая функция --- обратная к указанной $X(t)=t^2-2t\sin t-2\cost$. Поскольку таковая никем не определялась, я чисто придумал ей обозначение (см. тему Появление неэлементарных функций). Почему я взял для неё буковку Е и индексы 7 и 5 --- угадайтесь сами.

$\pm{\cal E}_7^5(X)$-видимо это функция типа класса "$e7e5 - такая шутка, да?

[Алексей К.]

Pourquoi бы и не pas?

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Pourquoi бы и не pas?

А Вот возьмем другую функцию::
$x(t)=2b \ch t$, $y(t)= \frac {b} {2} \sh (2t) -bt$

Аналогично будем искать кривую, на которой лежит точка $z^2$, найдем новую $X(t)$, и какая будет к ней обратная - как она будет обозначена?

[Алексей К.]

А там я другую шутку придумаю. Например, сгондоблю спич о бессистемности Ваших занятий математикой, их крайней тенденциозности и узконаправленности. На потолок, естессно...

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

А там я другую шутку придумаю.

Уж и пошутить нельзя

Вот по теме комплексных чисел задачка:
Числа вида $a+bi$ где a, b - целые числа называют Гауссовыми числами.
Нужно на плоскости нарисовать множество Гауссовых чисел

Если а и b целые, и комплексное число можно представить вектором с началом в т. $O$, то как же это множество можно нарисовать?