Доказать, что надграфик функции является открытым множеством

[xapienz]

Здравствуйте!
Подскажите пожалуйста, в каком направлении стоит решать задачку. Я её уже и так, и эдак пытал, но не получается.
В общем, условие:
На открытом связном множестве $\mathbb G\in\mathbb R^n, n\in\mathbb N$ задана непрерывная функция $f(X), X\in\mathbb G$ (координаты точки $X=\{x_1,x_2,...,x_n\}$). Далее, есть множество $\Omega\in\mathbb R^{n+1}$, состоящее из всех элементов $\tilde X$ таких, что $\tilde X=\{x_1,x_2,...,x_n,x_{n+1}\}, $ $x_{n+1}>f(X)$.
То есть каждый $X$ переходит в бесконечное количество $\tilde X$, где последняя координата $x_{n+1}$ выше графика функции $f(X)$ в множестве $\mathbb G$.
Нужно доказать, что множество $\Omega$ открытое.

Если построить двумерный график для $n=1$ в координатах $xOy$, то на горизонтальной оси $x$ будет находиться интервал, определяющий $\mathbb G$. Строим график $f(X)$ и вся часть плоскости выше него будет являться множеством $\Omega$. В этом случае видно, что полученное множество будет открытым.
Как мне кажется, надо взять произвольную точку $A$ этого множества, и "пробежаться" отрезком, один конец которого находится в точке $A$, по всему графику вторым концом (от левой до правой части графика). То есть перебрать все отрезки, соединяющие точку с графиком функции. И, учитывая непрерывность функции, рассмотреть длины отрезков, сравнив их с каким-то сколь угодно малым $\epsilon$, чтобы доказать, что точка $A$ является внутренней.
Вроде это понятно. Но что делать для случаев $n>1$?

[Егор]

Итак, дано открытое множество $G$ и непрерывная функция $f\colon G\to\mathbb{R}$. Нужно доказать, что надграфик $\Omega$ функции $f$ является открытым множеством.

1-й путь: через окрестности. Фиксируем точку $(x,v)\in\Omega$. То бишь $x\in G$ и $f(x)<v$. Положим $\varepsilon:=(v-f(x))/2$. Пользуясь непрерывностью $f$, находим такую окрестность $U$ точки $x$, что $f(y)<f(x)+\varepsilon$ для всех $y\in U$. Покажите, что "призма" $P:=U\times(v-\varepsilon,v+\varepsilon)$ содержится в $\Omega$. Осталось заметить, что эта призма $P$ является открытой окрестностью точки $(x,v)$. Если в качестве окрестности точки $(x,v)$ очень хочется получить шарик или кубик, то можно выбрать $U$ в виде шарика/кубика и потом вписать шарик/кубик в призму $P$ (это несложно).

2-й путь: представим $\Omega$ как полный прообраз некоторого открытого множества относительно некоторого непрерывного отображения. Рассмотрим вспомогательную функцию $h\colon\Omega\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $h(x,v)=v-f(x)$. Функция $h$ непрерывна, так как построена из непрерывных функций: проекций, функции $f$ и операции вычитания. Проверьте, что множество $\Omega$ является полным прообразом открытого множества $(0,+\infty)$ относительно отображения $h$.