6 шаров, 6 ящиков, ровно один пустой

[COBA]

gris писал(а):

Предложу немного занудное решение.

Если честно мне этот вариант больше всего понравился... Комбинаторика здесь не используется вовсе, задумываться ни о чём и не надо;
Задача эта такая, что в других решениях легко можно попасть в какой-нибудь "капкан" ...

+судя по тому месту, откуда взял задачу, её предлагалось решить именно так (я и так пробовал, но немного неправильно сделал )
Так сказать решение в лоб... и знаний много не надо..

А решение этой задачи в общем случае мне кажется вообще не простым... оно есть тут:
http://www.statsoft.ru/home/portal/dataan/combinations/combinations.htm

Спасибо всем большое за помощь!)))

[ewert]

PAV в сообщении #202919 писал(а):

Для случая неразличимых шаров метод подсчета количеств размещений, который предложил Brukvalub, самый лучший.

Способ, предложенный Brukvalub'ом -- именно для различимых шаров. Просто он нарочито небрежно его сформулировал.

[PAV]

Пусть для различимых. На втором шаге предлагается сперва пройти по всем 5 ящикам и в каждый положить по одному шару. Затем оставшиеся шары разложить произвольно. Рассмотрим, например, комбинацию {1,2},{3},{4},{5},{6}. Она может быть получена двумя способами: первый - если в первый ящик сначала положить шар 1, а шар 2 останется напоследок, другой способ - наоборот.

В данном случае ситуация упрощается тем, что все комбинации имеют такой вид и будут учитываться одинаковое число раз.

Но если бы шаров было 7, то тогда уже возможны комбинации типа {1,2,7}{3}{4}{5}{6}, которые учитываются трижды, и комбинации {1,2}{3,7}{4}{5}{6}, которые учитываются по четыре раза. С увеличением числа шаров число различных типов комбинаций растет быстро. Для девятнадцати шаров уже ничего нормально посчитать нельзя, вариантов разных типов слишком много.

[--mS--]

ewert писал(а):

PAV в сообщении #202919 писал(а):

Для случая неразличимых шаров метод подсчета количеств размещений, который предложил Brukvalub, самый лучший.

Способ, предложенный Brukvalub'ом -- именно для различимых шаров. Просто он нарочито небрежно его сформулировал.

Я правильно понимаю, что этот способ даст $6\cdot 5! \cdot 5$ благоприятных исходов из $6^6$ возможных, что ровно втрое меньше нужного числа? А если шары, которые кидаются по одному, выбирать не первые пять, а любые, то будет $6\cdot 6 \cdot 5! \cdot 5$, что ровно вдвое больше нужного числа
Поэтому при таком подсчёте

PAV писал(а):

... нужно приложить особые усилия, чтобы не посчитать один и тот же вариант несколько раз.

[ewert]

PAV:
да не надо рассматривать никаких, например, комбинаций. Просто сперва кладём в пять ящиков по одному шару, к-во способов есть $A_{19}^5$. Потом разбрасываем оставшиеся, вариантов -- $5^{14}$. Вот и всё.

[--mS--]

ewert писал(а):

PAV:
да не надо рассматривать никаких, например, комбинаций. Просто сперва кладём в пять ящиков по одному шару, к-во способов есть $A_{19}^5$. Потом разбрасываем оставшиеся, вариантов -- $5^{14}$. Вот и всё.

Вы по многу-многу-многу раз пересчитали одни и те же элементарные исходы. См. два предыдущих сообщения.

[ewert]

--mS-- писал(а):

Я правильно понимаю, что этот способ даст $6\cdot 5! \cdot 5$ благоприятных исходов из $6^6$ возможных,

Этот способ даст $6\cdot A_6^5\cdot 5=6\cdot6!\cdot5$. Да, вы правы, этот результат ровно вдвое завышен, и по вполне очевидным причинам. Поэтому своё предложение насчет девятнадцати снимаю.

[VAL]

ewert писал(а):

COBA в сообщении #202900 писал(а):

Дело в том, что шары одинаковые... и не играет разницы какой шар будет в каком ящике и в каком порядке они туда будут попадать...

Тут проблема в том, считать шары неразличимыми или нет. В принципе, возможен и тот подход, и другой. Но вот если мы хотим, чтобы все элементарные исходы опыта были равновероятны -- безусловно, шары должны быть различимы. Поскольку условием задачи, естественно, подразумевается, что каждый шар бросается независимо от остальных.

Совершенно верно.
Если рассматривать процесс распределения шаров по урнам по одному, то существует 720 способов получить в итоге по одному шару в каждой урне и всего 6 способов поместить все шары в одну урну.
Если же считать только итоговые ситуации (неразличимые шары), то существует всего один способ разместить шары по одному и по-прежнему 6 способов поместить все шары в одну урну.

Соответственно и вероятности будут разные:
при нумерованных шарах - та, что в ответе (точнее, $\frac{25}{108}$);
при неразличимых шарах - $\frac{5}{77}$

[PAV]

Насчет неразличимых шаров в последнем сообщении - я не понял. Опишите свой способ производить раскладку. Я по-прежнему настаиваю, что случайная раскладка дает одинаковые вероятности.

[ewert]

Дело в том, что если шары неразличимы, то вообще непонятно, откуда может взяться множитель $6^6$ или типа того. А он ведь есть.

[PAV]

Я уже отмечал, что в случае неразличимых шаров это не классическая вероятностная схема, она не одной дробью рассматривается (вообще говоря).

[VAL]

PAV писал(а):

Насчет неразличимых шаров в последнем сообщении - я не понял. Опишите свой способ производить раскладку. Я по-прежнему настаиваю, что случайная раскладка дает одинаковые вероятности.

В случае неразличимых шаров имеем $ \widetilde{{C}^{6}_{6}} = 462$ возможных исходов. Среди них $6\cdot5=30$ благоприятных. Откуда и получаем $\frac5{77}$.

Разумеется, правильный ответ к задаче $\frac{25}{108}$.
$\frac5{77}$ было бы при таком условии:
"Из 462 записок, на которых написаны все возможные способы (по одному на каждой записке) распределения шести неразличимых шаров по шести пронумерованным урнам, наугад вытащили одну. Какова вероятность, что попадется записка, где представлен способ распределения с ровно одним пустым ящиком?"

[PAV]

Тогда да. Просто это уже не называется случайной раскладкой шаров по ящикам (в общепринятом смысле этого слова), а случайный выбор комбинации из всех возможных.

[ewert]

случайный выбор комбинации -- откровенно безграмотен, поскольку нет решительно никаких оснований счесть те комбинации равновероятными. А вот счесть их не равноправными -- резон есть.

[--mS--]

Ну отчего же никаких оснований? Есть термин "распределение Бозе - Эйнштейна" в физике: там как раз равновероятными объявляются размещения "шаров" по "урнам", отличающиеся друг от друга лишь составом шаров в урнах (а не номерами шаров). Таких ровно $\widetilde{C_6^6}$.

Просто термин шары размещаются "случайным образом" обычно понимается как "каждому шару, независимо от других, равновозможно попасть в любую урну". Т.е. равновероятными считаются расположения шаров в урнах, отличающиеся как составом, так и номерами шаров. Таких ровно $6^6$.