Лапласиан на поверхности сферы

[Lesobrod]

Помогите грамотно составить лапласиан функции, заданной на поверхности сферы

$$u=u(\theta,\phi,r=R0)$$

[Gafield]

Очень просто. Записать трехмерный лапласиан в сферических координатах (есть в книжках) и выкинуть все слагаемые, содержащие производные по радиусу. Получится ограничение оператора Лапласа на сферу, что соответствует оператору Лапласа-Бельтрами на сфере для индуцированной из $\mathbb{R}^3$ метрики.

[Lesobrod]

Я так и хотел уже сделать. Но вот интересно - почему производные по $r$ равны нулю?
Ведь если функция задана на сфере, то она имеет конечные значения при $r=r0$ и равна нулю при других $r$. Разве тогда

$$\frac{\partial u}{\partial r}=0 ?$$

[Gafield]

Если уж продолжать функцию и вне сферы, то ее надо рассматривать как не зависящую от радиуса.

[worm2]

Ещё любопытный вариант: можно рассматривать функцию как зависящую от радиуса обратно пропорционально:

$$u(\theta,\phi,r)=\frac{R_0}{r}u(\theta,\phi,R_0)$$

Тогда, поскольку функция

$$1/r$$

удовлетворяет уравнению Лапласа, член с производными по $r$ всё равно уничтожается. Ну а в нуле --- всё одно особенность

[ewert]

Lesobrod в сообщении #202826 писал(а):

Я так и хотел уже сделать. Но вот интересно - почему производные по $r$ равны нулю?

По определению. На самом деле практически интересен не столько лапласиан на сфере как таковой, сколько разбиение лапласиана на сумму двух операторов, один из которых действует только на радиальную координату, другой же (с точностью до множителя) -- только на угловые.

[Gafield]

ewert писал(а):

На самом деле практически интересен не столько лапласиан на сфере как таковой, сколько разбиение лапласиана на сумму двух операторов, один из которых действует только на радиальную координату, другой же (с точностью до множителя) -- только на угловые.

Смотря какие задачи имеются в виду. Если для изучения сферических функций или чего-то специфического для сферы, то возможно. А вообще, оператор Лапласа на многообразии сам по себе вещь важная и хорошо изученная. Для поверхностей в $\mathbb{R}^n$ (достаточно гладких) имеется общая формула, связывающая операторы Лапласа $\Delta$ в пространстве и $\tilde \Delta$ на поверхности:

$$ \Delta =\tilde \Delta+(n-1)H\partial_\nu+\partial^2_\nu, $$

где $\nu$ - единичная нормаль, а $H$ - средняя кривизна поверхности. А сфера - жалкий частный случай: $\partial_\nu=\partial_r$, $H=1/r$

[ewert]

Да, "жалкий, ничтожный случай" $\copyright$. Я серьёзно согласен.