Прямое и обратное преобразование Фурье

[Chandradev]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, разобраться со следующими математическими рассужедниями:

----------------------------------------------------------------------------------
1) Введём преобразование Фурье как
$A(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}A_k e^{-i k x}dk$
2) Так же имеем следующие соотношение
$F(x)=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}(k^2+\gamma^2)A_k \, e^{-ikx}dk$
3) Для определения $A_k$ воспользуемся обратным преобразованием Фурье. Умножим (2) на $(2\pi)^{-0.5} e^{i k' x}$ и интегрируем по всей оси x, имеем

$ \int_{-\infty}^{+\infty} F(x) e^{ik'x}dx=-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}(k^2+\gamma^2)A_k \, e^{-ikx}dk \right] e^{i k' x}dx$

4) Меняя в (3) порядок интегрирования и интегрируя по k, получаем:
$A_{k'}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{(k')^2+\gamma^2}\int_{-\infty}^{+\infty} F(x) e^{ik'x}dx$

5) Подставляя (4) в (1) имеем
$ A(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ik'(x'-x)}}{(k')^2+\gamma^2}\,dk'\right]F(x')dx'$
----------------------------------------------------------------------------------
Мне не понятно что происходит при переходе от (3) к (4) и в (5). Приведу более детальный разбор перехода от (3) к (4), то есть преобразование правой части (3)
$ -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}(k^2+\gamma^2)A_k \, e^{-ikx}dk \right] e^{i k' x}dx=$
изменяя порядок интегрирования, получаем
$ =-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} ((k^2+\gamma^2)A_k) \, e^{-ikx}dx \right] e^{i k' x}dk= $
из под внутреннего интеграла вынесем $((k^2+\gamma^2)A_k)$, так как это выражение не зависит от x
$ =-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (k^2+\gamma^2)A_k \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ikx}dx \right] e^{i k' x}dk= $
используя тождество $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ikx}dx =2\pi\delta(k)$ перепишем полученное выражение как:
$ =-\sqrt{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} (k^2+\gamma^2)A_k \ \delta(k) \ e^{i k' x}dk= $
тут самое тонкое место, так как, мне кажется, что необходимо использовать тождество $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x) dx= f(0)$, а так же принять замену $k' \rightarrow k $, но тогда мы не получим выражения (4), а получим
$ =-\sqrt{2 \pi} \gamma^2 A_{k=0} $
Аналогичная игра с заменой $k' \leftrightarrow k $ происходит и в (5). Помогите разобраться с этим местом, пожалуйста
Так же прошу НЕ обращать внимания на множитель $ 2\pi $ с этим я сам разберусь.

[Gafield]

А обязательно с интегралами возиться? По существу, pдесь yаписано, что $F=(\partial_x^2-\gamma^2)A$, откуда $$A=(\partial_x^2-\gamma^2)^{-1}F$, где $(\partial_x^2-\gamma^2)^{-1}$ - фундаментальное решение оператора $(\d_x^2-\gamma^2)$ на прямой, стремящееся к нулю на бесконечности. Его можно выписать явно и формулу для гладких финитных $F$ проверить тоже. А если уж выводить это равенство с помощью обобщенных функций, то надо умножать на пробную, все операции переводить на нее и т.д.

[Chandradev]

Gafield
мне необходимо понять, как получается формула (5), которая представляет собой функцию Грина
$ G(x,x') = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ik'(x'-x)}}{(k')^2+\gamma^2}\,dk' $
А что касается теории обощенных функция, то, к сожалению, я не очень хорошо с ней знаком, поэтому сразу рождается вопрос о том где можно с этим ознакомится (литература)

[Gafield]

Ну, функция Грина (фундаментальное решение) удовлетворяет уравнению $(\partial_x^2-\gamma^2)G(x)=\delta(x)$, что после преобразования Фурье дает $-(\xi^2+\gamma^2)\tilde G(\xi)=1$, $\tilde G(\xi)=-1/(\xi^2+\gamma^2)$. Правая часть абсолютно интегрируема, так что применяем обратное преобразование Фурье и получаем требуемое. Хотя в здесь надо понимать, что рассуждения проводятся как раз в смысле обобщенных функций, иначе не определить преобразование Фурье от дельта-функции и т.д.

А обобщенные функции и нахождение фундаментальных решений с помощью преобразования Фурье есть, например, во Владимиров "Ур. мат. физики". Там выводится таким образом и ф.р. для уравнения Гельмгольца, только для двухмерного случая.

[Chandradev]

Gafield
В целом понятно =)
Посмотрю в рекомендуемой вами книге