Уравнение с оператором

[MaхVT]

Вопрос возник при решении некоторой задачки. Поэтому условия те же, хотя в формулировке вопроса эти условия могут странно выглядеть. Итак, пусть $X$ и $Y$ --- банаховы пространства (для вопроса они могут быть просто векторными), $T$ --- непрерывный оператор из $X$ в $Y,$ причем $\mathrm{ker}\,T$ конечномерно. Далее, $X_{0}$ --- замкнутое подпространство в $X.$ Теперь ближе к вопросу. Пусть $y\in T(X_{0}).$ Верно ли, что существует $x\in X_{0}$ такой, что $Tx=y$, и при этом (самое главное!) проекция элемента $x$ на $\mathrm{ker}\,T$ равна 0?

Мне почему-то кажется, что такой "неподпорченный" вектор $x$ можно найти в прообразе точки $y$.

А, кстати, естественно, надо считать, что $X_{0}$ не содержится в ядре $T$. Ну, и конечно, случай, когда $X_{0}$ содержится в $X_{1},$ где $X=X_{1}\oplus\mathrm{ker}\,T,$ тоже не интересен.

[Хорхе]

MaхVT писал(а):

проекция элемента $x$ на $\mathrm{ker}\,T$

А как Вы определяете проекцию?

[MaхVT]

У нас есть разложение в прямую сумму $X=X_{1}\oplus\mathrm{ker}\,T.$ Тогда всякий элемент $x$ из $X$ единственным образом представляется в виде $x=x_{1}+x_{0},$ где $x_{1}\in X_{1},x_{0}\in\mathrm{ker}\,T.$ Так вот, мне хочется, чтобы тот самый $x\in X_{0}$ имел разложение $x=x_{1}+0,$ где $x_{1}\in X_{1}.$

Или просто $Px=0,$ где $P$ --- проектор на $\mathrm{ker}\,T$ параллельно $X_{1}.$

[Dandan]

MaхVT писал(а):

У нас есть разложение в прямую сумму $X=X_{1}\oplus\mathrm{ker}\,T.$

а что такое $X_1$ ?

[MaхVT]

Издеваетесь? Я знаю, почему. Однако, отвечу. $X_1$ --- это алгебраическое дополнение в $X$ к подпространству $\mathrm{ker}\,T$. В данном случае $X_{1}$ еще окажется и замкнутым. А проектор $P$ непрерывным.

[Dandan]

Я к тому, что $X_1$ выбирается неоднозначно.
Ну вообще правильно. Для любого $x \not\in KerT$ и для любого $X_1$
$X_1\cap \{x+KerT\}\neq \emptyset$.

Добавлено спустя 7 минут 52 секунды:

а, у вас же там $X_0$. Это при $X_0=X$ правильно, но вообще не. Для контрпримера просто подберите $x$, $X_1$, $X_0$ так, что
$X_0\cap X_1 \cap \{x+KerT\}=\emptyset$

Добавлено спустя 9 минут 1 секунду:

Да вообще, если $X_0$ не содержится в $X_1$, то просто выбираете $x \in X_0 \setminus X_1$ ну и $T$ понятно какой.

[MaхVT]

Dandan писал(а):

Я к тому, что $X_1$ выбирается неоднозначно.

О, между прочим, да. Спасибо, что напомнили.

Dandan писал(а):

а, у вас же там $X_0$. Это при $X_0=X$ правильно, но вообще не. Для контрпримера просто подберите $x$, $X_1$, $X_0$ так, что
$X_0\cap X_1 \cap \{x+KerT\}=\emptyset$

Да уж. Слишком много на нужную точку ограничений. Видать, неверно мое предположение.

Добавлено спустя 9 минут 39 секунд:

Тогда вопрос такой. Все условия те же. И к тому же $\mathrm{im}\,T$ замкнут в $Y.$ Пусть последовательность $\{y_n\}\subset T(X_{0})$ сходится к $y.$ Вопрос: найдется ли точка $x\in X_{0}$ такая, что $y=Tx$?

[Dandan]

если $X_0$ компактный то да, вообще не вроде.

[MaхVT]

Как $X_{0}$ может быть компактом? Это подпространство, а оно неограничено (компакт -- он же всегда ограничен).
Ответ на вопрос всё-таки утвердительный, только вот доказательство не клеится.

[MaхVT]

Доказал вроде бы. Конечно, в контексте некоторых фактов. Мне надо было доказать, что $T(X_{0})$ замкнуто в $Y.$ Представив $X_{0}=X_{2}\oplus(X_{0}\cap\mathrm{ker}\,T),$ (конечно, $X_2$ банахово), я перешел к оператору $T_{2}\colon X_{2}\to T_{2}(X_2).$ Этот оператор лучше из-за инъективности. Ясно, что $T_{2}(X_{2})=T(X_{0}).$ Оператор $T_{2}$ будет открытым (в доказательстве (по-моему, я не ошибся в нем нигде, чуть попозже распишу) этого используется как замкнутость образа $T$, так и конечномерность ядра) и непрерывным, значит (у меня в курсе это называется лемма о гомоморфизме), $T_{2}(X_2)$ банахово пространство. То есть $T(X_{0})$ полно. Поэтому $T(X_0)$ замкнуто в $Y.$

[MaхVT]

Дурацкий (вернее, простой) вопросик. Ответ на него мне нужен для того, чтобы быть до конца уверенным.

Вот значит, я рассмотрел оператор $T_{2}\colon X_2\to T_{2}(X_{2}).$ Показал, что он непрерывен и открыт. Тогда по лемме о гомомрфизме $T_{2}(X_2)$ --- банахово пространство (так как $X_2$ -- банахово). Но в этом месте я, естественно, не мыслю, что $T_{2}(X_{2})$ находится в каком-то там $Y$. Вопрос-то такой (скорее, утверждение): из того, что $T_{2}(X_2)$ полно, конечно же, следует, что $T_{2}(X_2)$ замкнуто в $Y$?

Я почему этот вопрос задал. С замкнутостью же дело обстоит не так. Естественно, $T_{2}(X_2)$ получится замкнутым (в себе, разумеется, потому что ни в какое $Y$ я его не вкладываю), однако это не означает, что $T_{2}(X_2)$ будет замкнуто в $Y.$ Короче говоря, имеет смысл говорить "замкнуто в себе", но "полно в себе" говорить не надо. Я правильно понимаю?