Положение точки z на комплексной плоскости

[e7e5]

Где находится точка $z$ комплексной плоскости, если точка $z^2$ принадлежит мнимой оси?

Задача, вроде простенькая:
из условия $z^2=i$, $i=e^{\pi i/2}$
$|z|=\sqrt i$, отсюда $\phi_0=\pm \pi/4$, т.е $tg \pi /4=1$ и точка $z$ находится на $y=|x|$, Правильно?

[ewert]

ответ-то правильный, а вот с аргументацией -- полный бардак. Хотя бы такая деталь: $z^2=$ -- почему именно $i$?

-------------------------------------
Пыс, пардон, зевнул, и ответ неправильный, надо $y=\pm x$.

[e7e5]

ewert писал(а):

$z^2=$ -- почему именно $i$?

-------------------------------------
Пыс, пардон, зевнул, и ответ неправильный, надо $y=\pm x$.

Я подумал, что где бы не была точка на мнимой оси, можно всегда применить преобразование координат, так что эту точку можно поместить в т. $(0;i)$, конечно надо было в решении переобозначить другой буковкой, например $Z$ может быть...

[gris]

А почему обязательно через аргумент?

$$Re[(x+iy)^2]=x^2-y^2=0$$

Отсюда и ответ $x=\pm y$

[e7e5]

gris писал(а):

$$Re[(x+iy)^2]=x^2-y^2=0$$

Отсюда и ответ $x=\pm y$

А вот в задачнике приводится другой ответ:
" Точка $z=x+iy$ находится на кривой $y=|x|$" Почему?

[ewert]

Исключительно по дурости. Смените задачник.

[e7e5]

ewert писал(а):

Смените задачник.

Странно. Вроде задачник Л.Д. Кудрявцева , в МФТИ используют. Может просто опечатка...

[ewert]

Таких опечаток не бывает. Наверное, автор просто зявнул. Это случается.

[e7e5]

ewert писал(а):

Таких опечаток не бывает. Наверное, автор просто зявнул. Это случается.

Помню, как Крылов в своих воспоминаниях в пух и прах разносил типографских работников, считающих себя знатоками предмета, подменяя то там, то сям значки. Может и здесь нашелся умник и поставил знак модуля... Вообщем, кто-то "зявнул".

[ewert]

e7e5 в сообщении #202672 писал(а):

Помню, как Крылов в своих воспоминаниях в пух и прах разносил типографских работников, считающих себя знатоками предмета, подменяя то там, то сям значки.

А я вот не припомню. Вроде для Крылова это было не характерно. Литтлвуд -- другое дело.

[gris]

А может быть в ответе стоит

$$|y|=|x|$$

?
К тому же легко проверить:

$$(1+i)^2=2i$$

$$(1-i)^2=-2i$$

$$(-1+i)^2=-2i$$

$$(-1-i)^2=2i$$

Хотя иногда проверка выглядит глупо. Всё равно, что умножение сложением проверять:)

[e7e5]

gris писал(а):

А может быть в ответе стоит

$$|y|=|x|$$

?
Хотя иногда проверка выглядит глупо. Всё равно, что умножение сложением проверять:)

проверил ответ в задачнике - модуля нет.

Вот еще задача в тему:
Где находится точка $z^2$, если точка $z=x+iy$ принадлежит прямой $y=1$?

Ответ дается такой: Точка $z^2=x+iy$ принадлежит параболе $x=y^2/4-1$.

Добавлено спустя 18 минут 30 секунд:

ewert писал(а):

А я вот не припомню. Вроде для Крылова это было не характерно. Литтлвуд -- другое дело.

Алексей Николаевич в "Моих Воспоминаниях" конечно мягко указал на особое отношение к печати математических ихданий, сравнивая нынешнее положение со временем, когда типография была в доме ГУщина и на 9 линии Васильевского в Питере, и заключил организовать школу наборщиков.
" Для математики необходимо не две корректуры, а семь, восемь, а может быть даже и пятнадцать, т.е. столько корректур, пока в формулах опечаток не будет, что и необходимо дополнительными параграфами в договорах оговаривать. В особенности теперь, когда опытных наборщиков нет, когда вместо них работают мальчики и девушки, исправляя одну опечатку, они вносят другие, которых в тексте не было."

[gris]

А почему ошибка? Я для наглядности заменил $x$ на $a$

$$(a+i)^2=(a^2-1) +2ai$$

$$x=a^2-1; y=2a$$

$$x=\frac {y^2}4-1$

[e7e5]

gris писал(а):

А почему ошибка?

Это моя ошибка, зевнул, увлекся перечитыванием "Моих Воспоминаний" с полки

[e7e5]

Более общий вопрос:
Пусть задана элементарная функция $y=f(x)$ такая, что точка $z=x+iy$ принадлежит $y$
В каких случаях возможно аналитически найти расположение точки $z^2$?

Вот например, если $y=\frac {chx} {x}$, то вроде можно найти
$x=\frac {4arch^3(y/2) -y^2} {4arch(y/2)}$

А если $y=chx$, не выписать точное решение...