Обобщенное случайное блуждание (шаги разной величины)

[nikov]

Человек стоит на расстоянии $a$ от пропасти. Каждую секунду он делает с вероятностью $p$ шаг длиной $b$ от пропасти, либо с вероятностью $1 - p$ шаг длиной $c$ к пропасти. Какова вероятность, что он когда-нибудь свалится в пропасть? Какова вероятность свалиться в пропасть не более чем за $n$ шагов? Каково математическое ожидание расстояния от края пропасти через $n$ шагов, если известно, что человек еще не свалился в пропасть?

[Хорхе]

Это очень сложная задача. В частном случае $p=1/2$ обсуждалось тут:
http://dxdy.ru/topic6492.html

[nikov]

Мне надо найти хотя бы приближение при $b, c$ малых по сравнению с $a$.

[bubu gaga]

Может это Вам поможет

Discrete Closed-Form Solutions for Barrier Options
http://www.econrsa.org/archives/wpapers/WP29.pdf

[Юстас]

Копайте в сторону факторизационных тождеств, с помощью них можно что-то вычислять явно. Начните с книжки Боровков А.А. "Теория вероятностей", целая глава посвящена факторизационным тождествам.

[Архипов]

Хорхе в сообщении #202677 писал(а):

Это очень сложная задача.

В чем сложность? Задано биномиальное распределение вероятностей, заданы конечные расстояния.
Подставляйте конкретные значения и считайте.
Только не нужно оперировать бесконечно большими или бесконечно малыми величинами, чтобы не превращать задачу в абсурд.

[Хорхе]

Архипов писал(а):

В чем сложность? Задано биномиальное распределение вероятностей, заданы конечные расстояния.
Подставляйте конкретные значения и считайте.
Только не нужно оперировать бесконечно большими или бесконечно малыми величинами, чтобы не превращать задачу в абсурд.

Браво.