Приближение функции, непрерывной на квадрате, по норме L2

[Gortaur]

Представим, что есть квадрат $Q=[0,1]^2$ и пространство функции $f\in C(Q)$ с нормой $||f||^2=\int\limits_Q{f(x,y)^2}{dx}{dy}$. Допустим, есть класс $C_1\subset C(Q)$ и необходимо найти $f_1\in C_1$ наиболее близкую по этой норме к произвольной $f\in C$.
Например, как приблизить функцию $f$ функциями вида $g_1(x)\cdot g_2(y)$?

[Gafield]

Если подмножество $C_1$ замкнуто по этой норме, то это стандартная ситуация - проекция на подпространство в гильбертовом пространстве. Если же нет, то "наиболее близкой" может не быть. В общем, раз норма из $L_2$, то и задачу стоит ставить в $L_2$.

Цитата:

Например, как приблизить функцию функциями вида $g_1(x)g_2(y)$ ?

В смысле одной или суммами слагаемых такого вида?

[Gortaur]

в виде одного. насчет самого близкого - можно взять и $f_1\in \bar{C_1}$. То есть указать последовательность, сохдящуюся к этому самом близкому.

А насчет $g_1(x)g_2(y)$ - хотя бы для $x+y$ привести пример наиболее близкой функции такого вида. Не суммы, а именно одной.

[Gafield]

Gortaur писал(а):

в виде одного. насчет самого близкого - можно взять и $f_1\in \bar{C_1}$. То есть указать последовательность, сохдящуюся к этому самом близкому.

То то и оно, что $\bar C_1$ может не лежать в $C$ или вообще совпадать с $L_2$. Тогда возникает вопрос, почему последовательность обязана сходиться в $C$?. Не думаю, что множество произведений замкнуто в $L_2$, хоть это надо проверять. Возможно, тут имеет смысл разделить проблему на две: 1) приближение в $L_2$ и 2) поведение аппроксимирующей последовтельности для более гладких функций из $C$.

Конкретно же для данного случая можно попробовать брать в качестве паароксимирующих функции $g_i$ тригонометрические многочлены одинакового порядка (или что-нибудь еще ортогональное в $L_2$). Минимум означает равество нулю производных по всем коэффициентам, что даст какую-то систему уравнений на них.

[Gortaur]

хотелось бы методами вариационного исчисления, но приходим к инутегралу,у которого за скобками стоит не произвольная вариация, а из $C_1$

[worm2]

Gortaur в сообщении #202508 писал(а):

А насчет $g_1(x)g_2(y)$ - хотя бы для $x+y$ привести пример наиболее близкой функции такого вида. Не суммы, а именно одной.

Интересная задачка. Для данного конкретного $C_1$ у меня получилась следующая система интегральных уравнений:

$$\left\{\begin{array}{lll}g_1(x)&=&\frac{\int\limits_0^1g_2(y)f(x,y)\,dy}{\int\limits_0^1g_2^2(y)\,dy}\\ g_2(y)&=&\frac{\int\limits_0^1g_1(x)f(x,y)\,dx}{\int\limits_0^1g_1^2(x)\,dx}\end{array}\right.$$

Для случая $f(x,y)=x+y$ отсюда сразу следует, что экстремальные функции $g_1(x)$, $g_2(y)$ должны быть линейны, дальше всё просто.

[Gortaur]

если можно, укажите, как Вы пришли к таким уравнениям

[worm2]

Извините, если буду писать непонятно. Опускаю все выкладки и вариации высших порядков малости.

$L(g_1,g_2)=\int\limits_x\int\limits_y(g_1(x)g_2(y)-f(x,y))^2\,dx\,dy$

$$L(g_1+\delta g_1, g_2+\delta g_2)-L(g_1,g_2) = 2\int\limits_x\int\limits_yg_1(x)(g_1(x)g_2(y)-f(x,y))\delta g_2(y)\,dx\,dy + $$

$$+ 2\int\limits_x\int\limits_yg_2(y)(g_1(x)g_2(y)-f(x,y))\delta g_1(x)\,dx\,dy + \dots =$$

$$= 2\int\limits_y \delta g_2(y)\left[\int\limits_x g_1(x)(g_1(x)g_2(y)-f(x,y))\,dx\right]\,dy +\mbox{ (аналогично)} + \dots$$

То, что в квадратных скобках, должно равняться нулю при любом $y$, откуда:

$$\int\limits_x g_1^2(x)g_2(y)\,dx = \int\limits_x g_1(x)f(x,y))\,dx$$

В левой части $g_2(y)$ выносится за знак интегрирования, получается 2-е уравнение системы.
Аналогично получаем 1-е уравнение системы.

[Gortaur]

у меня в общем случае получалось, что:

$$ \int\limits_Q{(f(x,y)-f_1(x,y))\delta f_1(x,y)}{dx}{dy}=0 $$

То есть воспользоваться основной леммой нельзя, т.к. $\delta f_1$ не описывает все функции из $C(Q)$ или $L_2$.

[worm2]

Да, в этом случае бесконечно малая вариация не произвольна, а принадлежит какому-то многообразию (зависящему от $f_1$, разумеется). Многообразие это обычно гладкое, и можно считать, что $\delta f_1$ принадлежит касательному подпространству. Если для него легко удаётся описать нормальное подпространство, то, можно считать, задача решена: $f-f_1$ должно принадлежать этому нормальному подпространству.

Дальше, имхо, продвинуться невозможно без конкретизации $C_1$.