Определенный и неопределенный интеграл.

[M1xer]

Есть два примера:

\[ \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}} {{x + 1}}} \]

\[ \int {\frac{x} {{\sqrt {5 + 4x} }}dx} \]

Вот первого решение(предположение):

\[ \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}} {{x + 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } \int\limits_1^a {\frac{{d(x + 1)}} {{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } } \ln \left| {x + 1} \right||_1^a = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } (\ln \left| {a + 1} \right| - \ln 2) = + \infty \]

а вот второй что я не понял как сделать подскажите пожалуйста и есть ли ошибки в 1ом?

[Парджеттер]

Внесите корень под дифференциал и сделайте замену $t=\sqrt{5+4x}$

[GAA]

1. Первый пример выполнен правильно.
2. Во втором примере достаточно сделать замену $y = 4x+5$, а затем разбит интеграл на два табличных интеграла. Но, конечно, можно и так, как указал Парджеттер.

[M1xer]

вот так :

\[ \begin{gathered} \int {\frac{x} {{\sqrt {5 + 4x} }}dx = \left| {t = \sqrt {5 + 4x} ,5 + 4x = t^2 } \right.} ,x = \frac{{t^2 - 5}} {4},dx = \frac{{2t}} {4}dt\left. {} \right| \hfill \\ \int {\frac{{t^2 - 5}} {{4t}}*\frac{{2t}} {4} = \int {\frac{{t^2 - 5}} {{4t}}*\frac{{2t}} {4}dt = \int {\frac{{t^2 - 5}} {8}dt = \frac{1} {8}\int {t^2 - 5dt = \frac{1} {8}\int {t^2 dt} - \frac{1} {8}\int {5dt} = } } } } \hfill \\ = \frac{1} {8}\frac{{t^3 }} {3} - \frac{1} {8}*5t = \frac{{t^3 }} {{24}} - \frac{{5t}} {8} + C \hfill \\ \end{gathered} \]

?

[GAA]

Да, так (с одной технической опечаткой и потерянными скобками).
Но не забудьте вернутся к исходной переменной.

Добавлено спустя 4 минуты 44 секунды:

И еще. При необходимости для знака умножения следует использовать \cdot, например, $a \cdot b$. В данном случае такой необходимости нет, т.е. знак умножения ничем обозначать не надо.

[gris]

А что мешает довести до конца и проверить дифференцированием?

$$\int \frac{x}{\sqrt {5 + 4x}}dx = \frac{t^3 }{24}- \frac{5t}{8} + C=\frac{(\sqrt {5 + 4x})^3 }{24}- \frac{5{\sqrt {5 + 4x}}}{8} + C$$

Проверка:

$$\left(\frac{(\sqrt {5 + 4x})^3 }{24}- \frac{5{\sqrt {5 + 4x}}}{8} + C\right)'=$$

$$=\frac{3\cdot 4(5 + 4x) }{24\cdot 2\sqrt {5 + 4x}}- \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 2\sqrt {5 + 4x}}=\frac{x}{\sqrt {5 + 4x}}$$