Делимость!

[daogiauvang]

Данна функция $f$(n): Z^{+} \to Z^{+} $$ по эту правилу:
Пример: $f(123)=321 , f(1600)=0061, ...$
Найти все значения $n $ чтоб если $k \mid n$ то $ k \mid f(n) $ , где $ k $ делитель числа $n$

[Хорхе]

daogiauvang писал(а):

если $k \mid n$ то $ k \mid f(n) $

А что мешает написать просто $n\mid f(n)$?

Цитата:

где $ k $ делитель числа $n$

"Я по два раза... по два раза... не повторяю... не повторяю...

[daogiauvang]

For every positive integer $n,$ let $f(n)$ denote the number obtained by reversing the order of digits in the decimal form of $n$. (For example, $f(2500)=52, f(1456)=6541$.) Find all positive integers $k$, such that for any multiple $n$ of$ k, k$ also divides the number $f(n)$.

[Руст]

Условие было понятно с первого поста. Во первых взяв $n=k$ из $k|f(k)$ получаем, что или k симметричное число или $f(k)=mk, 2\le m\le 9$. Соответственно последняя цифра не меньше первой. Во вторых $(k,10)=1$. Как показано раньше последняя цифра не ноль (за исключением случая k=0).
0) $k=0$ решение на 0 ничего не делится (за исключением может самого нуля, в этом случае $f(0)=0$).
1) Пусть $a(m)$ - число из m единиц $a(m)=\frac{10^m-1}$. Число

$$x=\sum_{i=0}^lx_i*10^i$$

делится на a(m) тогда и только тогда, когда $s(i)=\sum_{j=i\mod m}x_j ,i=0,1,...,m-1$ удовлетворяют условию $s(i)=s(j)\mod a(m)$. Так как это свойство инвариантно относительно инверсии, то числа a(m) являются решением при любом m=1,2,...
2) Аналогично проверяется что числа $3a(m),9a(m)$ так же являются решением.
Если последняя цифра чётное, то $k|f(5k)<k$ дает противоречие, аналогично из $k|f(2k)$ получаем, что k не делится на 5. Соответственно существует минимальное m, что $k|10^m-1=9*a(m)$ - число из m девяток. Если k не число вышеприведённого вида, то оно не симметричное и спомощью комбинаций $af(n)-bn$ найдём меньшее число делящиеся на k.

[daogiauvang]

еще $k=11,33,99$ тоже правильно

[Edward_Tur]

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/olimp/vsesojuznye.htm
Задача № 93

[Someone]

daogiauvang в сообщении #202140 писал(а):

Найти все значения $n $

daogiauvang в сообщении #202169 писал(а):

Find all positive integers $k$