Вопросы по КМ

[Cobert]

Мы знаем, что энергия частицы в трехмерной потенциальной яме определяется формулой:

$$E_{n_1,n_2,n_3}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m}\left( \frac{n_1^2}{a^2}+\frac{n_2^2}{b^2}+\frac{n_3^2}{c^2}\right), n_1,n_2,n_3=1,2,3,...$$

Как определить уровень энергии $E_n$ в трехмерной потенциальной яме?

$E_n=\max(n_1,n_2,n_3)$?

[ewert]

Не в яме, а в ящике. Каждой целочисленной тройке отвечает свой уровень, последняя же строчка -- откровенно от лукавого и никакого смысла не имеет.

[Cobert]

эээ.... я не правильно написал, я имел виду:

$$n=\max(n_1,n_2,n_3)$$

Так?

[ewert]

Это лучше (по размерности), но тоже бессмысленно. Фактически

$$n_E=\sum_{{n_1^2\over a^2}+{n_2^2\over b^2}+{n_3^2\over c^2}\leqslant{2En\over\pi^2\hbar^2}}1$$

-- и более решительно ничего. Т.е. номер уровня попросту совпадает с целой частью объёма соответствующего эллипсоида.

[Cobert]

ewert, а попроще можно объяснить?

[ewert]

Вас, судя по всему, интересует зависимость номера уровня от его значения. Ну так это ровно и есть количество целочисленных троек, сумма квадратов которых (с учётом всех коэффициентов) не превосходит этого уровня. И ничего более конкретного сказать невозможно.

Ну разве что можно оценить ещё асимптотику этой зависимости номера от энергии при уходе энергии на бесконечность -- это, естественно, будет соответствующая константа, умноженная на энергию в степени три вторых.