Геометрия. Кривые второго порядка

[patriarch]

1. Докажите что все треугольники, образованные ассимптотами гиперболы, и произвольной касательной к ней, имеют одну и ту же площадь $S$. Выразить эту площади через полуоси гиперболы.

2. Дана гипербола $x^2/4 - y^2/9= 1$. Два тракториста за шесть часов вспахивают треугольный участок $ABO$ где $O$(0,0)$- начало кооррдинат. А - точка пересечения одной асимптоты и правой директрисы, точка $B$ лежит на другой асимптоте, так что сторона $AB$ этого треугольника касаеться правой ветви гиперболы.За какое время один тракторист вспашет квадратный участок, у которого одна сторона лежит на директрисе это гиперболы, а концы противоположной стороны лежат на ее асимптотах?


По первой задаче мне известно следущее:
уравнение касательной: $xx_0/a^2-yy_0/b^2=1$;
уравнения асимптот: $y=\pm bx/a$.

По второй задаче сам я дошел до этого:
Директриса — прямая, обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

уравнение левой директрисы: $-a^2/$\sqrt{a^2+b^2}$;
уравнение правой директрисы: $a^2/$\sqrt{a^2+b^2}$.

Что нужно делать дальше?

[GAA]

1. Многое зависит от того, что Вы знаете, либо должны знать в соответствии с программой, другими словами — чем Вы можете воспользоваться.

Можно решать совсем «в лоб». Для наглядности, в силу симметрии относительно осей координат, достаточно сосредоточиться на случае, когда точка касания лежит в первой четверти. Пусть касательная пересекает асимптоту $y=\frac{b}{a}x$ в точке $M_1(x_1, y_1)$и асимптоту $y=-\frac{b}{a}x$ в точке $M_2(x_2, y_2)$ (координаты точек пересечения легко найти). Далее, используя «геометрический смысл» векторного произведения, вычисляем площадь треугольника «построенного» на векторах $\overline {OM_1}$ и $\overline {OM_2}$. Под «геометрическим смыслом» здесь я имел в виду следующее утверждение: Длина векторного произведения $[ab]$ равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах $a$ и $b$.

Можно поступить хитрее. Сначала выполнить преобразование к новым координатам $x’ = x/a$, $y’=y/b$. Угол между асимптотами теперь станет прямым, и для вычисления площади искомого треугольника будет достаточно произведение катетов поделить на два:
$S’ = \frac{|\overline {OM_1}|\cdot |\overline {OM_2}|}{2}$.
Затем, используя $S’$, найти площадь треугольника в исходной системе координат.

Наконец, третий способ выполнения упражнения. Можно выполнить не только растежение/сжатие вдоль осей координат, но и, затем, повернуть систему на угол $\pi/4$, тогда асимптотами будут оси координат, и вычисления будет незначительно проще.

2. Решив первую задачу, мы знаем, как найти площадь треугольника во второй задаче. По сути, остается найти площадь квадрата. Введем для удобства обозначение для точки на верхней асимптоты: $M_1(x_1, y_1)$ (правая полуплоскость), и абсциссы директрисы: $x_0$. Чтобы получился квадрат должно выполняться $x_1 - x_0 = 2y_1$. Остается воспользоваться записанными Вами, patriarch, уравнениями для директрисы и асимптоты.