носитель обобщённой функции для C^\infty(R)

[axe]

Из книги Напалкова В.В., "Уравнения свёртки в многомерных пространствах":

Цитата:

Пусть $\Omega \subset\mathbb{R}$ - некоторое открытое множество.

Носителем $\mathrm{supp}(f)$ обобщённой функции $f\in\mathscr{D}^*(\Omega)$ называется наименьшее замкнутое в $\Omega$ подмножество такое, что $(f,\varphi)=0$ для всякой функции $\varphi \in \mathscr{D}(\Omega\backslash \mathrm{supp} f)$.

Т.к. отображение вложения $\mathscr{D}(\Omega)\rightarrow\mathscr{C}^\infty(\Omega)$ непрерывно, то непрерывные линейные функционалы из $\mathscr{C}^\infty(\Omega)^*$ можно рассматривать как обобщённые функции - это те и только те обобщенные функции, которые имеют компактный носитель в $\Omega$.

не могу понять, почему только те функции, которые имеют компактный носитель?
т.е. если $\Omega$ ограничено, то понятно. А если $\Omega$ не ограничено?

[Gafield]

Потому что в $\mathscr{C}^\infty(\Omega)$ у функций может быть некомпактный носитель. Пространство шире, чем $\mathscr{D}(\Omega)$, а множество линейных непрерывных функционалов на нем уже. Например, действие функции $f\equiv1\in \mathscr{D}(\mathbb R^n)$ не определено на той же функции $f\in\mathscr{C}^\infty(\mathbb R^n)$. Действительно, там будут только функции с компактными носителями.

[axe]

да, согласен, у меня примерно такие же мысли. но всё-таки есть некоторое сомнение.
теорема Рисса устанавливает соответствие функционалов на $C^0[a,b]$ с пространством функций ограниченной вариации. думаю, если есть аналогичная теорема для случая, когда вместо отрезка рассматривается неограниченное множество, то она внесла бы больше ясности.

Смотрел книгу Владимирова, Обобщённые функции в математической физике. Там на стр. 50-51 формулируется теорема, из которой делается вывод, что таким образом обобщённые функции на $C^\infty(\mathbb{R})$ должны иметь компактный носитель. Но опять же пока сомневаюсь, т.к. в книге непривычные для меня обозначения, вдруг что-то понял не правильно.

Ещё нужна информация, и пока не знаю где посмотреть, об исследовании преобразования Лапласа для обобщённых функций с ограниченным носителем.

[axe]

об исследовании преобразования Лапласа для обобщённых функций с ограниченным носителем, видимо, надо смотреть теорему Пэли-Винера...