предел функции

[Rony]

Подскажите, пожалуйста, с чего начать..
$$ \lim\limits_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x)

[Sonic86]

Если бы у Вас была разность корней, то Вы бы умножили на сопряженное.
Здесь у Вас 1 корень минус 2 корня, но зато есть +х (сумма коэффициентов 0).
Значит, как надо сгруппировать, чтобы использовать умножение на сопряженное?

[gris]

Обычный прием - избавляться от корней. Рассмотреть как дробь и домножить числитель и знаменатель на сопряженное к разности выражение.

$$A-B=\frac {(A-B)(A+B)}{A+B}=\frac {A^2-B^2}{A+B}$$

Определите, что есть $A$, а что $B$.

[Brukvalub]

ПРАВИЛЬНО вынести х за знак корня и воспользоваться локальной формулой Тейлора.

[Rony]

спасибо большое, всё получилось.

[gris]

Беда в том, что обычно не разрешают пользоваться эквивалентностью БМ. Хотя её проходят ещё раньше правила Лопиталя, ряда Тейлора. Надо запомнить всего несколько формул и дело значительно упрощается.

$$\sqrt{1+t} \sim 1+\frac t2$$

.

Но в данном случае, эквивалентности не получается использовать. Либо надо увеличить количество членов. Так что придётся домножать.



Интересно, а получится? Раз уж задача решена, то для проверки:

$$ \lim\limits_{x \to \infty} x^2(\sqrt{1+\frac 2x}-2\sqrt{1+\frac 1x}+1)=\lim\limits_{x \to \infty}x^2(1+\frac 1x-2-\frac 1x+1)$$

Увы, не получается...

Эквивалентностями можно пользоваться и в разностях, если она не обращается в 0. Например,

$$\frac {\sin 5x-\sin 3x}{x} \sim \frac { 5x- 3x}{x}=2$$

[Brukvalub]

gris в сообщении #200943 писал(а):

Беда в том, что обычно не разрешают пользоваться эквивалентностью БМ. Хотя её проходят ещё раньше правила Лопиталя, ряда Тейлора. Надо запомнить всего несколько формул и дело значительно упрощается.

$$\sqrt{1+t} \sim \frac t2$$

.

Но приходится идти непростым путём.

Эквивалентности в разностях?

[gris]

Упс... я неправильно написал. Бегу исправлять

Прошу рассматривать как первоапрельскую шутку!!! (неудачную)